数学救急室 - 高中数学分步推理与卡点练习

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#0a4b4085-1872-422f-b33f-25ebbb8b39ee简单填空题导数与不等式证明导数及其应用

考点来源：一数《二次函数与不等式》一数《【第2章】【模块2】【第2节】基本不等式的核心运用思想（基础）》一数《【解三角形|常考题型】最值与范围（进阶）》一数《BV1VafCB4EL1》一数《BV1mcPMzbEvK》一数《导数与不等式证明！直接求导+变换主元！》

28．（2023春•南岸区校级期中）已知函数 $f(x)$ 是定义在 $(0,+\infty )$ 上的可导函数，满足 $f$ （1） $=2$ ，且 $f(x)+\frac{1}{3}f'(x)<1$ ，则不等式 $f(x)-e^{3-3x}>1$ 的解集为 $($ 　　 $)$

解析

【解答】解：不等式

f(x)-e^{3-3x}>1

，变形为

e^{3x}(f(x)-1)>e^{3}

，令

g(x)=e^{3x}(f(x)-1)(x>0)

．又

\because f

（1）

=2

，

\therefore g

（1）

=e^{3}

，则不等式变为

g(x)>g

（1），

g\prime (x)=e^{3x}f\prime (x)+3e^{3x}(f(x)-1)=e^{3x}(f\prime (x)+3f(x)-3)

，又

\because f(x)

是定义在

(0,+\infty )

上的可导函数，且

f(x)+\frac{1}{3}{f}\prime (x)<1

，

\therefore f\prime (x)+3f(x)-3<0

，

\therefore g\prime (x)<0

，

\therefore g(x)

在

(0,+\infty )

上是减函数，

\therefore 0<x<1

．故选：

A

．

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