#1373de07-4f24-4032-be0c-056b666f2ed1简单解答题函数解析式求法函数
15．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x⩾0时，f(x)=x2−2x．
（1）求函数f(x)的解析式，并作出函数的大致的简图；
（作图要求：①列表描点；②先用铅笔作出图象，再用黑色签字笔将图象描黑）；
（2）根据图象写出函数单调区间；
（3）若不等式f(x)−2m⩾1在x∈[−1，3]上有解，求m的取值范围．
解析
我们来**完整、严谨、分步骤**地解答这道题，严格遵循题目要求：每步有推导、不省略关键过程、用 LaTeX 格式书写公式，并最终给出明确答案。
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### **（1）求函数 f(x) 的解析式，并作出大致简图**
#### **① 利用奇函数性质求 x<0 时的表达式**
已知：
- f(x) 是定义在 R 上的**奇函数**，即对任意 x∈R，恒有
f(−x)=−f(x)（定义）
- 当 x≥0 时，f(x)=x2−2x。
设 x<0，则 −x>0，故可代入已知表达式：
f(−x)=(−x)2−2(−x)=x2+2x.
由奇函数性质：
f(x)=−f(−x)=−(x2+2x)=−x2−2x.
因此，函数 f(x) 的**分段解析式**为：
f(x)={x2−2x,−x2−2x,x≥0,x<0.
✅ **此即第（1）问的解析式。**
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#### **② 列表描点（关键点选取需覆盖特征：顶点、零点、对称性）**
我们选取 x∈[−2,3] 区间内若干关键点（含分段点 x=0），计算对应 f(x) 值：
| x | 计算过程 | f(x) |
|--------|-----------|------------|
| −2 | f(−2)=−(−2)2−2(−2)=−4+4=0 | 0 |
| −1 | f(−1)=−(−1)2−2(−1)=−1+2=1 | 1 |
| 0 | f(0)=02−2⋅0=0 | 0 |
| 1 | f(1)=12−2⋅1=1−2=−1 | −1 |
| 2 | f(2)=22−2⋅2=4−4=0 | 0 |
| 3 | f(3)=32−2⋅3=9−6=3 | 3 |
补充一个负侧点以更清晰反映左支形状：
- x=−3：f(−3)=−(−3)2−2(−3)=−9+6=−3 → f(−3)=−3
但题目作图仅要求“大致简图”，且后续问题只涉及 [−1,3]，故上述 6 个点已足够。
整理列表如下（按 x 升序排列）：
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|----------|---------|---------|--------|--------|--------|--------|
| f(x) | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | 3 |
✅ **列表完成。**
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#### **③ 分析图象特征，辅助作图**
- **右半支（x≥0）**：f(x)=x2−2x=(x−1)2−1，是开口向上的抛物线，顶点在 (1,−1)，与 x 轴交于 x=0 和 x=2。
- **左半支（x<0）**：f(x)=−x2−2x=−(x2+2x)=−(x+1)2+1，是开口向下的抛物线，顶点在 (−1,1)，与 x 轴交于 x=−2 和 x=0。
验证奇函数对称性：
- f(−1)=1，f(1)=−1 → 满足 f(−x)=−f(x)；
- f(−2)=0=−f(2)；
- f(0)=0，符合奇函数必过原点。
✅ 图象关于原点中心对称，左右两支分别为顶点在 (−1,1) 和 (1,−1) 的抛物线弧。
> （作图说明：按列表描出点 (−2,0),(−1,1),(0,0),(1,−1),(2,0),(3,3)，用平滑曲线连接左支（开口向下）、右支（开口向上），注意在 x=0 处连续光滑（因左右极限均为 0，且导数？稍后分析），再用黑笔描实。此处为文字描述，实际需手绘。）
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### **（2）根据图象写出函数单调区间**
我们**严格通过解析式求导或配方法分析单调性**（不能仅凭草图猜测）：
#### **① 当 x>0 时**：f(x)=x2−2x
导数：f′(x)=2x−2
令 f′(x)=0⇒x=1
- x∈(0,1)：f′(x)<0 ⇒ f **单调递减**
- x∈(1,+∞)：f′(x)>0 ⇒ f **单调递增**
#### **② 当 x<0 时**：f(x)=−x2−2x
导数：f′(x)=−2x−2=−2(x+1)
令 f′(x)=0⇒x=−1
- x∈(−∞,−1)：x+1<0⇒f′(x)=−2(x+1)>0 ⇒ f **单调递增**
- x∈(−1,0)：x+1>0⇒f′(x)<0 ⇒ f **单调递减**
#### **③ 在 x=0 处是否可导？是否影响单调区间？**
左右导数：
- 左导数：limx→0−f′(x)=−2(0+1)=−2
- 右导数：limx→0+f′(x)=2⋅0−2=−2
→ 左右导数相等，故 f′(0)=−2，函数在 x=0 处**可导**，且单调性一致（递减）。
但注意：虽然 f′(0)=−2<0，但 x=0 是分段点，需结合两侧行为判断区间合并。
观察单调性变化点：
- 递增区间：(−∞,−1)，(1,+∞)
- 递减区间：(−1,1)（因为 (−1,0) 递减，(0,1) 也递减，且在 x=0 连续可导，故可合并）
验证端点：
- x=−1：左侧增、右侧减 ⇒ 局部极大值点
- x=1：左侧减、右侧增 ⇒ 局部极小值点
因此，**单调区间为**：
- 单调递增区间：(−∞, −1] 和 [1, +∞)
- 单调递减区间：$ [-1