数学救急室 - 高中数学分步推理与卡点练习

#1ab5fa6c-0823-49a7-800d-26399ab8e2cc简单填空题导数与不等式证明导数及其应用

考点来源：一数《二次函数与不等式》一数《【第2章】【模块2】【第2节】基本不等式的核心运用思想（基础）》一数《【解三角形|常考题型】最值与范围（进阶）》一数《BV1VafCB4EL1》一数《BV1mcPMzbEvK》一数《导数与不等式证明！直接求导+变换主元！》

2．（2022春•赣州期末）已知定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ ，其导函数为 $f'(x)$ ．若 $f(x)=-f(-x)-\cos x$ ，且当 $x\leqslant 0$ 时， $f'(x)-\frac{1}{2}\sin x>0$ ，则不等式 $f(\pi -x)>f(x)+\cos x$ 的解集为 $($ 　　 $)$

解析

【解答】解：设

g(x)=f(x)+\frac{1}{2}\cos x

，因为

f(x)=-f(-x)-\cos x

，所以

f(-x)=-f(x)-\cos x

，所以

g(-x)=f(-x)+\frac{1}{2}\cos x=-f(x)-\cos x+\frac{1}{2}\cos x=-f(x)-\frac{1}{2}\cos x

，即

g(x)

为奇函数，而

g'(x)=f'(x)-\frac{1}{2}\sin x>0

，则

g(x)

在

R

上单调递增，

f(\pi -x)>f(x)+\cos x

，即

f(\pi -x)-\frac{1}{2}\cos x>f(x)+\frac{1}{2}\cos x\Rightarrow f(\pi -x)+\frac{1}{2}\cos (\pi -x)>f(x)+\frac{1}{2}\cos x

，即

g(\pi -x)>g(x)\Rightarrow \pi -x>x\Rightarrow x<\frac{\pi }{2}

，所以

x

的范围为

(-\infty ,\frac{\pi }{2})

．故选：

A

．

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