数学救急室
#1e90c02d-eb2e-4d34-b059-5af8f3aea7db中等填空题导数压轴题常见模型导数及其应用
考点来源：一数《BV1VafCB4EL1》一数《BV1mcPMzbEvK》

17．（2023•河南模拟）已知函数f(x)=a(x2−x)−lnxxf(x)=a({{x^2}-x})-\frac{lnx}{x}，若不等式f(x)<0f(x)<0有且仅有1个整数解，则实数aa的取值范围为 ____．

解析
【解答】解：易知f(x)f(x)的定义域为(0,+∞)(0,+\infty )，由f(x)<0f(x)<0有且仅有1个整数解， 所以不等式lnxx2>a(x−1)\frac{lnx}{x^2}>a({x-1})有且仅有1个整数解． 设g(x)=lnxx2g(x)=\frac{lnx}{x^2}，则g′(x)=1−2lnxx3g'(x)=\frac{1-2lnx}{x^3}， 当x∈(0,e)x\in ({0,\sqrt{e}})时，g′(x)>0g'(x)>0，g(x)g(x)为增函数； 当x∈(e,+∞)x\in ({\sqrt{e},+\infty })时，g′(x)<0g'(x)<0，g(x)g(x)为减函数． 又gg（1）=0=0，则当0<x<10<x<1时，g(x)<0g(x)<0；当x>1x>1时，g(x)>0g(x)>0． 设y=a(x−1)y=a(x-1)，则直线y=a(x−1)y=a(x-1)恒过点(1,0)(1,0)，在同一直角坐标系中，作出函数g(x)g(x)与直线y=a(x−1)y=a(x-1)的图象，如图所示， 菁优网：http://www.jyeoo.com 由图象可知，a>0a>0， 要使不等式lnxx2>a(x−1)\frac{lnx}{x^2}>a({x-1})有且仅有1个整数解， 则{a<g(2)2−1a⩾g(3)3−1\left\{{\left.\begin{array}{l}{a<\frac{g(2)}{2-1}}\\ {a\geqslant \frac{g(3)}{3-1}}\end{array}\right.}\right.，解得ln318⩽a<ln24\frac{ln3}{18}\leqslant a<\frac{ln2}{4}，实数aa的取值范围为[ln318,ln24)[{\frac{ln3}{18},\frac{ln2}{4}})． 故答案为：[ln318,ln24)[{\frac{ln3}{18},\frac{ln2}{4}})．
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