数学救急室 - 高中数学分步推理与卡点练习

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#23db2dfd-dfee-4fac-836d-5bfdab16c4ec简单填空题导数与不等式证明导数及其应用

考点来源：一数《二次函数与不等式》一数《【第2章】【模块2】【第2节】基本不等式的核心运用思想（基础）》一数《【解三角形|常考题型】最值与范围（进阶）》一数《BV1VafCB4EL1》一数《BV1mcPMzbEvK》一数《导数与不等式证明！直接求导+变换主元！》

13．（2023春•沙坪坝区校级期末）设函数 $f(x)$ 的定义域为 $R$ ， $f'(x)$ 是其导函数，若 $f(x)+f'(x)>0$ ， $f$ （1） $=1$ ，则不等式 $f(x)>e^{1-x}$ 的解集是 $($ 　　 $)$

解析

【解答】解：设

g(x)=f(x)e^{x}

，则

g\prime (x)=f\prime (x)e^{x}+f(x)e^{x}=e^{x}[f\prime (x)+f(x)]>0

，所以函数

g(x)

在

R

上单调递增，不等式

f(x)>e^{1-x}

等价于

e^{x}f(x)>e

，又

g

（1）

=f

（1）

e=e

，则

e^{x}f(x)>e

等价于

g(x)>g

（1），又

g(x)

在

R

上单调递增，则所求不等式的解集为

(1,+\infty )

．故选：

B

．

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