数学救急室
#2ba45d2c-364d-4c32-9540-6e80f44c6e41中等解答题导数与不等式证明导数及其应用
考点来源：一数《二次函数与不等式》一数《【第2章】【模块2】【第2节】基本不等式的核心运用思想（基础）》一数《【解三角形|常考题型】最值与范围（进阶）》一数《BV1VafCB4EL1》一数《BV1mcPMzbEvK》一数《导数与不等式证明！直接求导+变换主元！》

放缩法证不等式

已知 n∈N∗n \in \mathbb{N}^*，证明：1n+1<ln⁡n+1n<1n(n+1)\dfrac{1}{n+1} < \ln\dfrac{n+1}{n} < \dfrac{1}{\sqrt{n(n+1)}}。

解析
左侧：由 ln⁡x>1−1/x\ln x>1-1/x（x>1x>1，构造 h(x)=ln⁡x−1+1/xh(x)=\ln x-1+1/x，h′(x)=(x−1)/x2>0h'(x)=(x-1)/x^2>0，h(1)=0h(1)=0），令 x=(n+1)/nx=(n+1)/n 得 ln⁡n+1n>1n+1\ln\frac{n+1}{n}>\frac{1}{n+1}。右侧：设 t=1/n>0t=1/n>0，需证 ln⁡(1+t)<t/1+t\ln(1+t)<t/\sqrt{1+t}。设 φ(t)=t/1+t−ln⁡(1+t)\varphi(t)=t/\sqrt{1+t}-\ln(1+t)，φ(0)=0\varphi(0)=0。φ′(t)=2+t2(1+t)3/2−11+t=(2+t)1+t−2(1+t)2(1+t)3/2\varphi'(t)=\frac{2+t}{2(1+t)^{3/2}}-\frac{1}{1+t}=\frac{(2+t)\sqrt{1+t}-2(1+t)}{2(1+t)^{3/2}}。分子中 (2+t)1+t>2(1+t)(2+t)\sqrt{1+t}>2(1+t) 等价于 2+t>21+t2+t>2\sqrt{1+t}，即 (1+t−1)2>0(\sqrt{1+t}-1)^2>0，成立。故 φ′>0\varphi'>0，φ(t)>0\varphi(t)>0。
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