数学救急室
#2ceaf6f9-1aff-4db8-a1a7-a96c9464638f
中等
解答题
导数与零点问题
导数及其应用
考点来源：
一数《【导数热门】零点与找点！姥姥级串讲！》
一数《导数与「指对同构」保姆级讲解》
【代表题】零点问题 · 三次函数三根
已知
f
(
x
)
=
x
3
−
3
x
+
a
f(x) = x^3 - 3x + a
f
(
x
)
=
x
3
−
3
x
+
a
。若
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
恰有 3 个零点，求
a
a
a
的取值范围。
解析
f
′
(
x
)
=
3
x
2
−
3
f'(x) = 3x^2 - 3
f
′
(
x
)
=
3
x
2
−
3
，令
f
′
=
0
f'=0
f
′
=
0
得
x
=
±
1
x = \pm 1
x
=
±
1
。
x
=
−
1
x=-1
x
=
−
1
是极大值点，
f
(
−
1
)
=
−
1
+
3
+
a
=
2
+
a
f(-1) = -1 + 3 + a = 2 + a
f
(
−
1
)
=
−
1
+
3
+
a
=
2
+
a
；
x
=
1
x=1
x
=
1
是极小值点，
f
(
1
)
=
1
−
3
+
a
=
a
−
2
f(1) = 1 - 3 + a = a - 2
f
(
1
)
=
1
−
3
+
a
=
a
−
2
。
f
f
f
三个零点的充要条件是
f
(
极大
)
>
0
f(\text{极大}) > 0
f
(
极大
)
>
0
且
f
(
极小
)
<
0
f(\text{极小}) < 0
f
(
极小
)
<
0
，即
2
+
a
>
0
2 + a > 0
2
+
a
>
0
且
a
−
2
<
0
a - 2 < 0
a
−
2
<
0
，解得
−
2
<
a
<
2
-2 < a < 2
−
2
<
a
<
2
。
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