数学救急室
#53ef8500-d6e5-4bab-ad82-974e714cc93d中等解答题导数与函数极值最值导数及其应用

恒成立问题(参数分离)

已知函数 f(x)=ln⁡x−axf(x) = \ln x - ax,若 f(x)≤0f(x) \leq 0 对一切 x>0x > 0 恒成立,求实数 aa 的取值范围。

解析
分离参数:ln⁡xx≤a\frac{\ln x}{x}\leq a(x>0x>0)。设 g(x)=ln⁡xxg(x)=\frac{\ln x}{x},g′(x)=1−ln⁡xx2g'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2},gg 在 x=ex=e 取最大值 g(e)=1eg(e)=\frac{1}{e}。故 a≥1ea\geq\frac{1}{e}。