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#5729b82d-c71e-4aef-a9ba-93526f45806b中上解答题极值点偏移导数
考点来源：一数《极值点偏移核心题型》一数《极值点偏移进阶思路》一数《【高二】导数公式+切线+单调性极值！一课搞定！》一数《BV1mcPMzbEvK》一数《【最后十课终篇】导数大题-方法思路大总结！2023高考冲刺！第10讲》

【代表题】极值点偏移 · 比值换元

设 f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x}，若 f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2)（0<x1<x20 < x_1 < x_2），证明 x1x2>e2x_1 x_2 > e^2。

解析
由 f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2) 得 ln⁡x1x1=ln⁡x2x2\frac{\ln x_1}{x_1} = \frac{\ln x_2}{x_2}，即 x2ln⁡x1=x1ln⁡x2x_2 \ln x_1 = x_1 \ln x_2。令 t=x2/x1>1t = x_2/x_1 > 1，则 ln⁡x1=ln⁡tt−1\ln x_1 = \frac{\ln t}{t - 1}（需证 x1x2>e2x_1 x_2 > e^2 等价于 ln⁡x1+ln⁡x2>2\ln x_1 + \ln x_2 > 2）。代入后化简为 (t+1)ln⁡t−2(t−1)>0(t+1)\ln t - 2(t-1) > 0。令 h(t)=(t+1)ln⁡t−2(t−1)h(t) = (t+1)\ln t - 2(t-1)，h(1)=0h(1)=0，h′(t)=ln⁡t+(t+1)/t−2=ln⁡t+1/t−1>0h'(t) = \ln t + (t+1)/t - 2 = \ln t + 1/t - 1 > 0（t>1t > 1），故 h(t)>0h(t) > 0，证毕。

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