数学救急室
#7327917d-0a43-42ea-acbc-c7cd32870886基础填空题圆锥曲线大题方法论直线与圆+圆锥曲线
考点来源：一数《【高考最后十课】圆锥曲线大题！2025高考冲刺！》一数《圆锥曲线 定点问题》一数《【高考最后十课】圆锥曲线小题！2025高考冲刺！》一数《BV1F615BpErW》

17．设直线x−3y+m=0(m≠0)x-3y+m=0(m\ne 0)与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点AA，BB．若点P(m,0)P(m,0)满足∣PA∣=∣PB∣\vert PA\vert =\vert PB\vert，则该双曲线的离心率是____．

解析
【解答】解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±baxy=\pm \frac{b}{a}x，则 与直线x−3y+m=0x-3y+m=0联立，可得A(ma3b−aA(\frac{ma}{3b-a}，mb3b−a)\frac{mb}{3b-a})，B(−ma3b+aB(-\frac{ma}{3b+a}，mb3b+a)\frac{mb}{3b+a})， ∴AB\therefore AB中点坐标为(ma29b2−a2(\frac{m{a}^{2}}{9{b}^{2}-{a}^{2}}，3mb29b2−a2)\frac{3m{b}^{2}}{9{b}^{2}-{a}^{2}})， ∵\because点P(m,0)P(m,0)满足∣PA∣=∣PB∣\vert PA\vert =\vert PB\vert， \therefore<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Can&#x27;t use function &#x27;' in math mode at position 84: …-{a}^{2}}-m}=-3̲，\therefore a…" style="color:#cc0000">\frac{\frac{3m{b}^{2}}{9{b}^{2}-{a}^{2}}-0}{\frac{m{a}^{2}}{9{b}^{2}-{a}^{2}}-m}=-3，，\therefore a=2b，，\thereforec=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{5}b，，\therefore e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}．故答案为：． 故答案为：\frac{\sqrt{5}}{2}$．
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