数学救急室 - 高中数学分步推理与卡点练习

#82bc642f-0e0c-406a-a927-5142d6949582简单填空题同构与指对同构导数

19．（2023•吉林模拟）已知不等式 $2\lambda e^{2x}+ln\lambda \geqslant lnx$ 在 $x\in (0,+\infty )$ 上恒成立，则实数 $\lambda$ 的取值范围是 $($ 　　 $)$

解析

【解答】解：由

2\lambda e^{2x}+ln\lambda \geqslant lnx

得

2\lambda {e^{2x}}\geqslant lnx-ln\lambda =ln\frac{x}{\lambda }

，即

2x{e^{2x}}\geqslant \frac{x}{\lambda }ln\frac{x}{\lambda }

，令

f(t)=te^{t}

，

t\in (0,+\infty )

，则

f'(t)=(t+1)e^{t}>0

，所以

f(t)=te^{t}

在

(0,+\infty )

上单调递增，而

2x{e^{2x}}\geqslant \frac{x}{\lambda }ln\frac{x}{\lambda }=ln\frac{x}{\lambda }{e^{ln\frac{x}{\lambda }}}

等价于

f({2x})\geqslant f({ln\frac{x}{\lambda }})

，

\therefore<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Can&#x27;t use function &#x27;

' in math mode at position 33: …ac{x}{\lambda }

̲，即

\lambda \geq…" style="color:#cc0000">2x\geqslant ln\frac{x}{\lambda }

，即

\lambda \geqslant \frac{x}{e^{2x}}

， 令

g(x)=\frac{x}{e^{2x}}

，

x\in (0,+\infty )

，则

g'(x)=\frac{1-2x}{e^{2x}}

， 所以

g(x)

在

x\in ({0,\frac{1}{2}})

时

g'(x)>0

，为增函数；在在

x\in ({\frac{1}{2},+\infty })

时

g'(x)<0

，为减函数， 所以

g(x)

最大值为

g({\frac{1}{2}})=\frac{1}{2e}

，

\therefore\lambda \geqslant \frac{1}{2e}

． 故选：

C$．