数学救急室
#8b0427be-47c6-4865-991c-ff1ba7da27d9基础解答题函数解析式求法函数
考点来源：一数《函数基础！一课搞定！》

21．若函数f(x)f(x)在x∈[ax\in [a，b]b]时，函数值yy的取值区间恰为[1b,1a][{\frac{1}{b},\frac{1}{a}}]，则称[a[a，b]b]为f(x)f(x)的一个"倒域区间"．定义在[−2[-2，2]2]上的奇函数g(x)g(x)，当x∈[0x\in [0，2]2]时，g(x)=−x2+2xg(x)=-x^{2}+2x． （1）求g(x)g(x)在[−2[-2，0)0)上的解析式； （2）求g(x)g(x)的"倒域区间"．

解析
我们来**完整、严谨、分步推导**第（2）问，即求函数 g(x)g(x) 在定义域 [−2,2][-2, 2] 上的所有“倒域区间” [a,b][a, b]，使得 > 函数值的取值区间 **恰为** [1b, 1a]\left[ \dfrac{1}{b},\ \dfrac{1}{a} \right]。 --- ### 【回顾已知】 由（1）得： g(x)={x2+2x,−2≤x<0−x2+2x,0≤x≤2g(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, & -2 \le x < 0 \\ -x^2 + 2x, & 0 \le x \le 2 \end{cases} 且 g(x)g(x) 是定义在 [−2,2][-2, 2] 上的**奇函数**，故 g(0)=0g(0) = 0，与两段表达式在 x=0x=0 处一致（验证：左极限 02+2⋅0=00^2 + 2\cdot 0 = 0，右极限 −02+2⋅0=0-0^2 + 2\cdot 0 = 0），所以可补充为： g(x)={x2+2x,−2≤x≤0−x2+2x,0≤x≤2g(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, & -2 \le x \le 0 \\ -x^2 + 2x, & 0 \le x \le 2 \end{cases} （注意：在 x=0x=0 处两段都成立，无矛盾） 进一步化简： - 当 x∈[−2,0]x \in [-2, 0]：g(x)=x2+2x=(x+1)2−1g(x) = x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1，开口向上，顶点在 x=−1x = -1，最小值 g(−1)=−1g(-1) = -1；端点值： g(−2)=(−2)2+2(−2)=4−4=0g(-2) = (-2)^2 + 2(-2) = 4 - 4 = 0， g(0)=0g(0) = 0。 所以在 [−2,0][-2, 0] 上，g(x)∈[−1, 0]g(x) \in [-1,\ 0]，且在 [−2,−1][-2, -1] 单调递减，在 [−1,0][-1, 0] 单调递增。 - 当 x∈[0,2]x \in [0, 2]：g(x)=−x2+2x=−(x−1)2+1g(x) = -x^2 + 2x = -(x-1)^2 + 1，开口向下，顶点在 x=1x = 1，最大值 g(1)=1g(1) = 1；端点值： g(0)=0g(0) = 0，g(2)=−4+4=0g(2) = -4 + 4 = 0。 所以在 [0,2][0, 2] 上，g(x)∈[0, 1]g(x) \in [0,\ 1]，且在 [0,1][0, 1] 单调递增，在 [1,2][1, 2] 单调递减。 综上，整个函数图像关于原点对称（奇函数），值域为 [−1, 1][-1,\ 1]。 --- ### 【定义回顾】“倒域区间” [a,b][a,b] 满足： - a<ba < b，且 a,b∈[−2,2]a,b \in [-2,2]，a≠0a \ne 0，b≠0b \ne 0（否则 1a\frac{1}{a} 或 1b\frac{1}{b} 无定义）； - g(x)g(x) 在 [a,b][a,b] 上的**值域**（即所有函数值构成的闭区间）**恰好等于** [1b, 1a]\left[ \dfrac{1}{b},\ \dfrac{1}{a} \right]； - 注意：由于 a<ba < b，要使 1b<1a\dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{a}，必须有 ab>0ab > 0，即 a,ba,b **同号**。 所以只需考虑两类情形： - **情形Ⅰ**：0<a<b≤20 < a < b \le 2（正区间）； - **情形Ⅱ**：−2≤a<b<0-2 \le a < b < 0（负区间）。 （注：不能跨零，因若 a<0<ba < 0 < b，则 ab<0⇒1b>1aab < 0 \Rightarrow \frac{1}{b} > \frac{1}{a}，与区间下标顺序矛盾；且 g(x)g(x) 在含 0 的区间上值域包含 0，而 [1b,1a]\left[\frac{1}{b},\frac{1}{a}\right] 若 a<0<ba<0<b 则 1b>0>1a\frac{1}{b}>0>\frac{1}{a}，即该区间为 [正, 负][\text{正},\ \text{负}]，不合法——区间要求左端点 ≤ 右端点。故**排除跨零情况**。） --- ## （2）分情形讨论求倒域区间 --- ### ✅ 情形Ⅰ：0<a<b≤20 < a < b \le 2 此时 x∈[a,b]⊆[0,2]x \in [a,b] \subseteq [0,2]，故 g(x)=−x2+2xg(x) = -x^2 + 2x。 记 g(x)=−x2+2x=−(x−1)2+1g(x) = -x^2 + 2x = -(x-1)^2 + 1，在 [0,2][0,2] 上是先增后减，对称轴 x=1x = 1，最大值 g(1)=1g(1) = 1。 #### 子情形Ⅰ₁：[a,b]⊆[0,1][a,b] \subseteq [0,1]，即 0<a<b≤10 < a < b \le 1 则 g(x)g(x) 在 [a,b][a,b] 上**单调递增**（因在 [0,1][0,1] 上递增），故值域为： [g(a), g(b)]=[−a2+2a, −b2+2b][g(a),\ g(b)] = \left[ -a^2 + 2a,\ -b^2 + 2b \right] 依题意，应等于 [1b, 1a]\left[ \dfrac{1}{b},\ \dfrac{1}{a} \right]，即： {−a2+2a=1b（最小值对应左端点）−b2+2b=1a（最大值对应右端点）(1)\begin{cases} -a^2 + 2a = \dfrac{1}{b} \quad \text{（最小值对应左端点）} \\ -b^2 + 2b = \dfrac{1}{a} \quad \text{（最大值对应右端点）} \end{cases} \tag{1} 注意：由于 a<b≤1a < b \le 1，有 1b<1a\frac{1}{b} < \frac{1}{a}，且 g(a)<g(b)g(a) < g(b)，匹配。 将方程组 (1) 视为关于 a,ba,b 的对称系统。尝试设 a=ba = b？不行，因要求 a<ba < b；或猜测是否有简单解，如 a=1a = 1？但 a<b≤1a < b \le 1，故 a<1a < 1，不能取 1。 换思路：观察函数 h(x)=−x2+2x=x(2−x)h(x) = -x^2 + 2x = x(2 - x)，在 (0,1](0,1] 上 h(x)∈(0,1]h(x) \in (0,1]，而 1x≥1\frac{1}{x} \ge 1，故 1b≥1\frac{1}{b} \ge 1，但 g(a)=−a2+2a<1g(a) = -a^2 + 2a < 1（因 a<1a < 1，且 h(x)h(x) 在 (0,1)(0,1) 上 <1< 1），而 1b>1\frac{1}{b} > 1（因 b<1⇒1b>1b < 1 \Rightarrow \frac{1}{b} > 1），矛盾！ → 所以 **[a,b]⊆[0,1][a,b] \subseteq [0,1] 不可能**。 #### 子情形Ⅰ₂：[a,b]⊆[1,2][a,b] \subseteq [1,2]，即 1≤a<b≤21 \le a < b \le 2 此时 g(x)=−x2+2xg(x) = -x^2 + 2x 在 [1,2][1,2] 上**单调递减**，故值域为： [g(b), g(a)]=[−b2+2b, −a2+2a][g(b),\ g(a)] = \left[ -b^2 + 2b,\ -a^2 + 2a \right] （注意：因递减，最小值在右端点 x=bx=b，最大值在左端点 x=ax=a） 依定义，值域应为 [1b, 1a]\left[ \dfrac{1}{b},\ \dfrac{1}{a} \right]，故： $$ \begin{cases} -b^2 + 2b = \dfrac{1}{b} \quad \text{（最小值 = 左端点）} \\ -a^2 + 2a = \dfrac{1}{a} \quad \text{（最大值 = 右端点）}
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