数学救急室 - 高中数学分步推理与卡点练习

#903d0108-2257-44ee-8bdf-ca7458abb36f简单填空题导数与不等式证明导数及其应用

10．（2023春•蒲城县校级期中）设定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 的导函数为 $f'(x)$ ，若 $f(x)+f'(x)>2$ ， $f(0)=2021$ ，则不等式 $f(x)>2+\frac{2019}{e^x}$ （其中 $e$ 为自然对数的底数）的解集为 $($ 　　 $)$

解析

【解答】解：设

g(x)=e^{x}f(x)-2e^{x}

，则

g'(x)=e^{x}f(x)+e^{x}f'(x)-2e^{x}=e^{x}[f(x)+f'(x)-2]

，

\because f(x)+f'(x)>2

，

\therefore f(x)+f'(x)-2>0

，又

\because e^{x}>0

，

\therefore g'(x)=e^{x}[f(x)+f'(x)-2]>0

，

\therefore g(x)

在

R

上单调递增，又

\because g(0)=f(0)-2=2019

，

\therefore g(x)>2019

的解集为

(0,+\infty )

，即不等式

e^{x}f(x)>2e^{x}+2019

的解集为

(0,+\infty )

，故选：

B

．