数学救急室
#985fe42d-cc03-4418-bf7b-2d4560ac32af基础解答题函数模型及其应用函数

15．已知某种圆柱形饮料罐的容积VV为定值，设底面半径为rr． （1）试把饮料罐的表面积SS表示为rr的函数； （2）求rr为多少时饮料罐的用料最省？

解析
【解答】解：（1）设圆柱形饮料罐的高为hh，则V=πr2hV=\pi r^{2}h，则h=Vπr2h=\frac{V}{\pi {r}^{2}}， ∴\therefore饮料罐的表面积S=2πr2+2πrh=2πr2+2πr⋅Vπr2=2πr2+2VrS=2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r^{2}+2\pi r\cdot \frac{V}{\pi {r}^{2}}=2\pi r^{2}+\frac{2V}{r}，r∈(0,+∞)r\in (0,+\infty )； （2）由（1）得S=2πr2+2VrS=2\pi r^{2}+\frac{2V}{r}，r∈(0,+∞)r\in (0,+\infty )，则S′=4πr−2Vr2S'=4\pi r-\frac{2V}{{r}^{2}}， 由S′=0S'=0得r=V2π3r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}，由S′>0S'>0得r>V2π3r>\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}，由S′<0S'<0得0<r<V2π30<r<\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}， ∴\therefore函数SS在(0,V2π3)(0,\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }})上单调递减，在(V2π3(\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}，+∞)+\infty )上单调递增， ∴\therefore当r=V2π3r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}时，SS取得极小值也是最小值， 故rr为V2π3\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}时饮料罐的用料最省．

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