数学救急室
#9f40ec92-aa62-4b81-a672-5271c4632ca7简单填空题导数压轴题常见模型导数及其应用
考点来源：一数《BV1VafCB4EL1》一数《BV1mcPMzbEvK》

21．（2023•河南模拟）已知函数f(x)=(2x−3)e2−(ax+1)ex+2aex(a>0,a∈R)f(x)=(2x-3)e^{2}-(ax+1)e^{x}+2ae^{x}(a>0,a\in R)，若存在唯一的整数x0x_{0}，使得f(x0)>0f(x_{0})>0，则实数aa的取值范围是 ____．

解析
【解答】解：由f(x)=(2x−3)e2−(ax+1)ex+2aex>0f(x)=(2x-3)e^{2}-(ax+1)e^{x}+2ae^{x}>0，(a>0)(a>0)， 化为a(x−2)+1<(2x−3)e2exa(x-2)+1<\frac{(2x-3){e}^{2}}{{e}^{x}}， 分别令g(x)=(2x−3)e2exg(x)=\frac{(2x-3){e}^{2}}{{e}^{x}}，h(x)=a(x−2)+1h(x)=a(x-2)+1， 则gg（2）=h=h（2）=1=1， g′(x)=(5−2x)e2exg\prime (x)=\frac{(5-2x){e}^{2}}{{e}^{x}}， 可得函数g(x)g(x)在(−∞,52)(-\infty ,\frac{5}{2})上单调递增，在(52(\frac{5}{2}，+∞)+\infty )上单调递减． 由存在唯一的整数x0x_{0}，使得f(x0)>0f(x_{0})>0， ∴\therefore{  h(0)⩾g(0)g(1)>h(1)\left\{\begin{array}{l}{\;h(0)\geqslant g(0)}\\ {g(1)>h(1)}\end{array}\right.，即{1−2a⩾−3e2−e>1−a\left\{\begin{array}{l}{1-2a\geqslant -3{e}^{2}}\\ {-e>1-a}\end{array}\right.， 解得1+e<a⩽1+3e221+e<a\leqslant \frac{1+3{e}^{2}}{2}， ∴\therefore实数aa的取值范围是(1+e(1+e，1+3e22]\frac{1+3{e}^{2}}{2}]． 故答案为：(1+e(1+e，1+3e22]\frac{1+3{e}^{2}}{2}]．
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