数学救急室
#b8e90d57-a558-40dc-a01d-e9e8c5f81011中等解答题导数压轴题常见模型导数及其应用
考点来源：一数《BV1VafCB4EL1》一数《BV1mcPMzbEvK》

2．已知函数f(x)=x3+ax2+bxf(x)=x^{3}+ax^{2}+bx的图像与直线y=−12x−8y=-12x-8相切，切点为(1,c)(1,c)． （1）求aa，bb，cc的值； （2）设g(x)=f(x)−9xg(x)=f(x)-9x，求g(x)g(x)在[−8[-8，4]4]上的最大值和最小值．

解析
【解答】解：（1）f′(x)=3x2+2ax+bf'(x)=3x^{2}+2ax+b， 函数f(x)f(x)的图像与直线y=−12x−8y=-12x-8相切，切点为(1,c)(1,c)， 则{f′(1)=3+2a+b=−12−12×1−8=cf(1)=1+a+b=c⇒{a=6b=−27c=−20\left\{\begin{array}{l}f'(1)=3+2a+b=-12\\ -12\times 1-8=c\\ f(1)=1+a+b=c\end{array}\right.\Rightarrow \left\{{\left.\begin{array}{l}{a=6}\\ {b=-27}\\ {c=-20}\end{array}\right.}\right.． （2）由（1）可知，g(x)=x3+6x2−36xg(x)=x^{3}+6x^{2}-36x，g′(x)=3x2+12x−36=3(x+6)(x−2)g\prime (x)=3x^{2}+12x-36=3(x+6)(x-2)， g′(x)>0⇔x<−6g'(x)>0\Harr x<-6或x>2x>2； g′(x)<0⇔−6<x<2g'(x)<0\Harr -6<x<2． 则g(x)g(x)在[−8[-8，−6]-6]单调递增，在[−6[-6，2]2]单调递减，在[2[2，4]4]上单调递增， 故g(x)min=min{g(−8)g(x)_{min}=min\{g(-8)，gg（2）}=min{160\}=min\{160，−40}=−40-40\}=-40， g(x)max=max{g(−6)g(x)_{max}=max\{g(-6)，gg（4）}={216\}=\{216，16}=21616\}=216．
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