数学救急室
#e3df4d35-3514-4451-8eb0-274ac2c3b621中等解答题指数与指数函数函数

指数函数的单调性与不等式求解

已知函数 f(x)=a2x−2ax+3f(x) = a^{2x} - 2a^x + 3，其中 a>0a > 0 且 a≠1a \neq 1。 （1）令 t=axt = a^x，将 f(x)f(x) 表示为关于 tt 的函数 g(t)g(t)，并写出 tt 的取值范围； （2）若 f(x)f(x) 在区间 [−1,1][-1, 1] 上的最小值为 22，求实数 aa 的值。

解析
（1）由 t=axt = a^x，且 a>0a > 0，a≠1a \ne 1，则当 a>1a > 1 时，x∈[−1,1]⇒t=ax∈[a−1,a]x \in [-1,1] \Rightarrow t = a^x \in [a^{-1}, a]；当 0<a<10 < a < 1 时，axa^x 单调递减，故 t∈[a,a−1]t \in [a, a^{-1}]。综上，无论 a>1a > 1 或 0<a<10 < a < 1，均有 t∈[min⁡{a,a−1},max⁡{a,a−1}]t \in [\min\{a, a^{-1}\}, \max\{a, a^{-1}\}]，且因 a>0a > 0、a≠1a \ne 1，恒有 t>0t > 0。因此 tt 的取值范围是 (0,+∞)(0, +\infty)（注意：此处是定义域层面的全体可能取值，非仅区间限制；但后续第（2）问限定在 x∈[−1,1]x\in[-1,1]，故实际 tt 在 [a−1,a][a^{-1}, a] 或 [a,a−1][a, a^{-1}]，即 t∈[a−1,a]t \in [a^{-1}, a] 当 a≥1a \ge 1，或 t∈[a,a−1]t \in [a, a^{-1}] 当 0<a<10<a<1；统一记为 t∈[1a,a]t \in [\frac{1}{a}, a] 若 a≥1a \ge 1，或 t∈[a,1a]t \in [a, \frac{1}{a}] 若 0<a<10<a<1；但更简洁地，注意到 1a\frac{1}{a} 与 aa 互为倒数，故 t∈[m,M]t \in [m, M]，其中 m=min⁡{a,a−1}>0m = \min\{a, a^{-1}\} > 0，M=max⁡{a,a−1}M = \max\{a, a^{-1}\}）。 又 f(x)=a2x−2ax+3=(ax)2−2ax+3=t2−2t+3f(x) = a^{2x} - 2a^x + 3 = (a^x)^2 - 2a^x + 3 = t^2 - 2t + 3， 所以 g(t)=t2−2t+3=(t−1)2+2g(t) = t^2 - 2t + 3 = (t-1)^2 + 2，定义域为 t>0t > 0。 （2）由（1），f(x)f(x) 在 x∈[−1,1]x \in [-1,1] 上的最小值，等价于 g(t)g(t) 在 t∈It \in I 上的最小值，其中区间 II 为： - 若 a>1a > 1，则 x∈[−1,1]⇒t=ax∈[a−1,a]x \in [-1,1] \Rightarrow t = a^x \in [a^{-1}, a]，且 0<a−1<1<a0 < a^{-1} < 1 < a； - 若 0<a<10 < a < 1，则 t=ax∈[a,a−1]t = a^x \in [a, a^{-1}]，且 0<a<1<a−10 < a < 1 < a^{-1}。 综上，对任意 a>0a > 0 且 a≠1a \ne 1，tt 的取值区间 I=[α,β]I = [\alpha, \beta] 满足 0<α<1<β0 < \alpha < 1 < \beta（因为 α=min⁡{a,a−1}<1<max⁡{a,a−1}=β\alpha = \min\{a,a^{-1}\} < 1 < \max\{a,a^{-1}\} = \beta）。 而 g(t)=(t−1)2+2g(t) = (t-1)^2 + 2 是开口向上的抛物线，顶点在 t=1t = 1，最小值为 g(1)=2g(1) = 2，且该最小值在 t=1t=1 处取得。 由于 II 总包含 t=1t = 1（因 α<1<β\alpha < 1 < \beta），故 g(t)g(t) 在 II 上的最小值恒为 22，且当且仅当 t=1t = 1 可达，即存在 x∈[−1,1]x \in [-1,1] 使得 ax=1a^x = 1。而 ax=1a^x = 1 当且仅当 x=0x = 0，且 0∈[−1,1]0 \in [-1,1] 恒成立。 但题设要求“f(x)f(x) 在 [−1,1][-1,1] 上的最小值为 22”，我们已知该最小值恒为 22，是否对所有 a>0a>0，a≠1a\ne1 都成立？需进一步验证边界是否可能影响——实际上，因顶点 t=1t=1 始终在区间内部，g(t)g(t) 在 II 上的最小值确为 g(1)=2g(1)=2，与 aa 无关。然而，题目给出“最小值为 22”作为条件，暗示可能存在某些 aa 使最小值大于 22，需重新审视： 关键点在于：当 a>0a > 0，a≠1a \ne 1，t=ax>0t = a^x > 0，但 t=1t=1 是否一定属于 x∈[−1,1]x\in[-1,1] 对应的 tt 值域？是的，因为 a0=1a^0 = 1，且 0∈[−1,1]0 \in [-1,1]，所以对任意合法 aa，t=1t=1 总可取到，故 f(0)=a0−2a0+3=1−2+3=2f(0) = a^0 - 2a^0 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2，即 f(x)f(x) 在 [−1,1][-1,1] 上必有函数值 22；又因 g(t)≥2g(t) \ge 2 对所有 t>0t>0 成立，故最小值恒为 22。 但这与题设“若最小值为 22，求 aa”矛盾——说明必须存在隐含约束：可能题目意图是“最小值**恰好**为 22”，而该条件自动满足；但通常此类题需保证最小值在区间内取得且等于 22，而我们已满足。然而，若 aa 使得 t=1t=1 不在 II 内，则最小值会大于 22，但如前所述，t=1t=1 恒在 II 内。 重新严格分析 II： - 若 a>1a > 1，t∈[a−1,a]t \in [a^{-1}, a]，由于 a>1⇒a−1<1<aa > 1 \Rightarrow a^{-1} < 1 < a，故 1∈[a−1,a]1 \in [a^{-1}, a]； - 若 0<a<10 < a < 1，则 a−1>1a^{-1} > 1，t∈[a,a−1]t \in [a, a^{-1}]，仍有 a<1<a−1a < 1 < a^{-1}，故 1∈[a,a−1]1 \in [a, a^{-1}]。 因此对所有 a>0a > 0，a≠1a \ne 1，t=1t=1 均在对应区间内，fmin⁡=2f_{\min} = 2 恒成立。 但题目要求“求实数 aa 的值”，说明应有唯一解或有限解，表明我们可能误解了题意。重读函数：f(x)=a2x−2ax+3f(x) = a^{2x} - 2a^x + 3，没错；最小值为 22，而 f(0)=1−2+3=2f(0) = 1 - 2 + 3 = 2，确实恒成立。 等等——是否遗漏了“最小值为 22”且**仅在此条件下成立**，但实际对所有 aa 成立？这会使题目无意义。因此更合理的解释是：题目隐含要求最小值在区间端点处取得且等于 22，或需结合单调性排除顶点情形？但顶点 t=1t=1 对应 x=0x=0，在区间内部，最小值必为 22。 另一种可能：题目中“最小值为 22”是给定条件，而我们需要找出使该最小值**在区间 [−1,1][-1,1] 上确实能达到**的 aa，但已恒可达。 再检查计算：f(0)=a0−2a0+3=1−2+3=2f(0) = a^{0} - 2a^{0} + 3 = 1 - 2 + 3 = 2，正确；g(t)=(t−1)2+2≥2g(t) = (t-1)^2 + 2 \ge 2，等号当且仅当 t=1t = 1，即 ax=1⇒x=0a^x = 1 \Rightarrow x = 0，而 0∈[−1,1]0 \in [-1,1]，恒成立。 因此，所有 a>0a > 0，a≠1a \ne 1 均满足条件。但高中题通常不会设空集或全集解。故应回归题干：可能“最小值为 22”是附加约束，而实际需结合 f(x)f(x) 在 [−1,1][-1,1] 上的**最大值或其他条件**？但题干未提。 重新审题：题目仅说“若 f(x)f(x) 在区间 [−1,1][-1,1] 上的最小值为 22，求实数 aa 的值”。逻辑上，该命题为真当且仅当 min⁡x∈[−1,1]f(x)=2\min_{x\in[-1,1]} f(x) = 2。我们已证该式对所有 a>0a>0，a≠1a\ne1 成立，故解集为 (0,1)∪(1,+∞)(0,1) \cup (1,+\infty)。但“求实数 aa 的值”暗示具体数值解，说明前述分析有误。 关键发现：当 a=1a=1 时，f(x)=12x−2⋅1x+3=1−2+3=2f(x) = 1^{2x} - 2\cdot1^x + 3 = 1 - 2 + 3 = 2（常函数），最小值也是 22，但题设 a≠1a \ne 1，故排除。仍无唯一解。 可能题意是：最小值为 22，且该最小值**在端点处取得**？但 f(−1)=a−2−2a−1+3f(-1) = a^{-2} - 2a^{-1} + 3，f(1)=a2−2a+3f(1) = a^{2} - 2a + 3，令其等于 22： - f(−1)=2⇒a−2−2a−1+3=2⇒a−2−2a−1+1=0⇒(a−1−1)2=0⇒a=1f(-1) = 2 \Rightarrow a^{-2} - 2a^{-1} + 3 = 2 \Rightarrow a^{-2} - 2a^{-1} + 1 = 0 \Rightarrow (a^{-1} - 1)^2 = 0 \Rightarrow a = 1（舍）； - f(1)=2⇒a2−2a+3=2⇒a2−2a+1=0⇒(a−1)2=0⇒a=1f(1) = 2 \Rightarrow a^2 - 2a + 3 = 2 \Rightarrow a^2 - 2a + 1 = 0 \Rightarrow (a-1)^2 = 0 \Rightarrow a = 1（舍）。 因此端点不能取到 22（除 a=1a=1）。 回到本质：最小值恒为 22，故题目可能意在考查学生发现 f(x)≥2f(x) \ge 2 且等号可取，并意识到 aa 可取任意允许值——但不符合“求值”表述。 标准解法应为：因 g(t)=(t−1)2+2g(t) = (t-1)^2 + 2，在 t∈[a−1,a]t \in [a^{-1}, a]（设 a>1a > 1）上，最小值在 t=1t = 1 处，值为 22，故条件恒满足；但若 aa 使得 1∉[a−1,a]1 \notin [a^{-1}, a]，则最小值不在顶点。然而，如前，11 必在其中。 除非……当 a=1a = 1，但被排除。或考虑 aa 为负？但指数函数底数要求 a>0a > 0，题干已限定。 最终合理结论：题目期望学生得出 f(x)=(ax−1)2+2≥2f(x) = (a^x - 1)^2 + 2 \ge 2，等号当且仅当 ax=1a^x = 1 即 x=0x = 0，而 0∈[−1,1]0 \in [-1,1]，故对任意 a>0a > 0，a≠1a \ne 1，最小值均为 22。但“求 aa 的值”提示可能有额外约束，常见变式是“最小值为 22”且“在区间内唯一取得”，这恒成立；或题目本意是求使最小值**不大于** 22 的 aa，但最小值不可能小于 22。 查典型教辅题：类似题常设定“最小值为 22”，答案为 a=2a = 2 或 a=12a = \frac{1}{2}，源于误认为需 tt 区间关于 11 对称，但非必要。 换角度：可能题设隐含 f(x)f(x) 在 [−1,1][-1,1] 上的最小值为 22，且该最小值**在端点处取得**，但已证不可能（除 a=1a=1）。或“最小值为 22”是干扰，实际需结合其他条件？ 重算 f(x)f(x)：a2x=(ax)2a^{2x} = (a^x)^2，正确；g(t)=t2−2t+3g(t) = t^2 - 2t + 3，正确；顶点 t=1t=1，g(1)=2g(1)=2，正确。 因此，唯一可能是题目接受所有 a>0a > 0，a≠1a \ne 1，但高中题通常设计为具体值。故反思：是否 x∈[−1,1]x \in [-1,1] 时，tt 的范围未必包含 11？例如，若 a=100a = 100，则 t∈[0.01,100]t \in [0.01, 100]，含 11；若 a=0.01a = 0.01，则 t∈[0.01,100]t \in [0.01, 100]，仍含 11。始终包含。 因此，严谨答案是：所有满足 a>0a > 0 且 a≠1a \ne 1 的实数 aa 均符合题意。但题目要求“求实数 aa 的值”，宜给出通解。 然而，标准考试中此类题若无其他条件，答案常写“a>0a > 0 且 a≠1a \ne 1”。但本题明确“求值”，故最可能预期答案为：由 f(0)=2f(0) = 2 且为最小值，无需额外限制，故 aa 为任意满足条件的正数。但为符合题型，取典型值 a=2a = 2 验证：f(x)=4x−2⋅2x+3f(x) = 4^x - 2\cdot 2^x + 3，f(0)=1−2+3=2f(0) = 1 - 2 + 3 = 2，f(1)=4−4+3=3f(1) = 4 - 4 + 3 = 3，f(−1)=14−1+3=2.25f(-1) = \frac{1}{4} - 1 + 3 = 2.25，最小值 22，成立；同理 a=12a = \frac{1}{2}：f(x)=(14)x−2(12)x+3=4−x−2⋅2−x+3f(x) = (\frac{1}{4})^x - 2(\frac{1}{2})^x + 3 = 4^{-x} - 2\cdot 2^{-x} + 3，f(0)=1−2+3=2f(0) = 1 - 2 + 3 = 2，同样成立。 综上，题目实际考查学生识别配方及定义域包含顶点的能力，答案应为：所有 a>0a > 0 且 a≠1a \ne 1。但为匹配“求值”表述，常见处理是指出条件恒成立，故 aa 的取值范围是 (0,1)∪(1,+∞)(0,1) \cup (1,+\infty)。 不过，原题可能期望学生写出：由最小值为 22，得 g(t)min⁡=2g(t)_{\min} = 2，而 g(t)=(t−1)2+2g(t) = (t-1)^2 + 2，故当且仅当 t=1t = 1 在 tt 的取值范围内，即 1∈[a−1,a]1 \in [a^{-1}, a]（a>1a > 1）或 1∈[a,a−1]1 \in [a, a^{-1}]（0<a<10 < a < 1），二者均等价于 a−1≤1≤aa^{-1} \le 1 \le a 或 a≤1≤a−1a \le 1 \le a^{-1}，即 a≥1a \ge 1 或 0<a≤10 < a \le 1，合并为 a>0a > 0，a≠1a \ne 1。 故最终答案：实数 aa 的取值范围是 (0,1)∪(1,+∞)(0,1) \cup (1,+\infty)。但题目说“求实数 aa 的值”，复数形式，允许多解。 在高中解答题中，标准呈现为： （1）g(t)=t2−2t+3g(t) = t^2 - 2t + 3，t>0t > 0； （2）由 g(t)=(t−1)2+2≥2g(t) = (t-1)^2 + 2 \ge 2，等号成立当且仅当 t=1t = 1，即 ax=1a^x = 1，解得 x=0x = 0。由于 0∈[−1,1]0 \in [-1,1]，故对任意 a>0a > 0 且 a≠1a \ne 1，f(x)f(x) 在 [−1,1][-1,1] 上的最小值均为 22。因此，aa 的取值范围是 (0,1)∪(1,+∞)(0,1) \cup (1,+\infty)。 但为简洁并符合常见答案格式，取最具代表性的解，如 a=2a = 2 或 a=12a = \frac{1}{2}，但题目未限定唯一性。 经权衡，采用严谨数学结论： 答案：（1）g(t)=t2−2t+3g(t) = t^2 - 2t + 3，t∈(0,+∞)t \in (0, +\infty)； （2）由 g(t)=(t−1)2+2g(t) = (t-1)^2 + 2，其最小值为 22，在 t=1t = 1 时取得。而 t=ax=1t = a^x = 1 当且仅当 x=0x = 0，且 0∈[−1,1]0 \in [-1,1]，故对任意 a>0a > 0 且 a≠1a \ne 1，条件均满足。因此，实数 aa 的取值集合为 {a∣a>0, a≠1}\{a \mid a > 0,\, a \ne 1\}。

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