#fb1f93c5-f029-4995-b4be-10e2805d773a中上解答题集合间的基本关系集合与常用逻辑用语
集合包含关系的参数求解
已知集合 A={x∈R∣x2−4ax+3a2<0}，集合 B={x∈R∣x2−2x−3≤0}。若 A⊆B，求实数 a 的取值范围。
解析
首先化简集合 A 和 B。
（1）化简集合 B：
解不等式 x2−2x−3≤0。
因式分解得 (x−3)(x+1)≤0，解得 −1≤x≤3，故 B=[−1,3]。
（2）化简集合 A：
不等式 x2−4ax+3a2<0 的判别式为 Δ=(−4a)2−4⋅1⋅3a2=16a2−12a2=4a2≥0，当 a=0 时，Δ>0，方程有两个不等实根；当 a=0 时，原不等式变为 x2<0，无解，即 A=∅。
当 a=0 时，解方程 x2−4ax+3a2=0，由求根公式得：
x=24a±4a2=24a±2∣a∣=2a±∣a∣.
分情况讨论：
- 若 a>0，则 ∣a∣=a，两根为 x1=2a−a=a，x2=2a+a=3a，且 a<3a，开口向上，故 A=(a,3a)。
- 若 a<0，则 ∣a∣=−a，两根为 x1=2a−(−a)=3a，x2=2a+(−a)=a，注意此时 3a<a（因 a<0），故解集为 (3a,a)。
综上：
A=⎩⎨⎧∅,(a,3a),(3a,a),a=0,a>0,a<0.
（3）由条件 A⊆B=[−1,3]，分情况讨论：
- 当 a=0 时，A=∅，空集是任意集合的子集，满足 A⊆B，故 a=0 符合要求。
- 当 a>0 时，A=(a,3a)，需满足 (a,3a)⊆[−1,3]，即左端点 a≥−1（自动满足，因 a>0），右端点 3a≤3，且区间非空要求 a<3a 恒成立；还需保证整个开区间落在 [−1,3] 内，即最小值 a≥−1（冗余），最大值 3a≤3，即 a≤1；同时为使 A 非空（虽空集已单独考虑，但此处 a>0，故只需 a>0 且 3a≤3），得 0<a≤1。
- 当 a<0 时，A=(3a,a)，需满足 (3a,a)⊆[−1,3]。由于 a<0，有 3a<a<0，因此需：左端点 3a≥−1（确保区间不向左超出 −1），右端点 a≤3（自动满足，因 a<0）。故 3a≥−1⇒a≥−31。又 a<0，所以 −31≤a<0。
合并三类情况：
- a=0，
- 0<a≤1，
- −31≤a<0，
得 a∈[−31,1]。
验证边界：
- 当 a=−31 时，A=(3a,a)=(−1,−31)⊆[−1,3]，成立（注意开区间左端点 −1 不包含，而 B 包含 −1，不影响子集关系）；
- 当 a=1 时，A=(1,3)⊆[−1,3]，成立。
因此，实数 a 的取值范围为 [−31,1]。