【解答】解：（1）\because<span class="katex-error" title="ParseError: KaTeX parse error: Can&#x27;t use function &#x27;' in math mode at position 44: …c{1}{2\sqrt{x}}̲，\therefore" style="color:#cc0000">f\prime (x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}}$，$\thereforef\prime (4)=\frac{7}{4}$，$f$（4）$=2$． 则曲线$y=f(x)$在点$(4$，$f$（4）$)$处的切线方程为$y-2=\frac{7}{4}(x-4)$， 即$7x-4y-20=0$． （2）$\because$$f\prime (x)=\frac{x\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}}$， 令函数$g(x)=x\sqrt{x}-1$，$g\prime (x)=\frac{3\sqrt{x}}{2}\geqslant 0$． 所以$g(x)$在$(0,+\infty )$上单调递增． 因为$g$（1）$=0$，所以当$x>1$时，$x\sqrt{x}-1>0$，即$f\prime (x)>0$， 当$0<x<1$时，$x\sqrt{x}-1<0$，即$f\prime (x)<0$， 所以$f(x)$在$(0,1)$上单调递减，在$(1,+\infty )$上单调递增， 则$f(x)\geqslant f(1)=-\frac{3}{4}$． 因为$f(x)\geqslant a$恒成立，所以$a\leqslant -\frac{3}{4}$． 故$a$的取值范围为$(-\infty ,-\frac{3}{4}]$．