数学救急室
#69add255-6b2b-4e2e-ac0a-48431208a000
中等
解答题
导数与零点问题
导数及其应用
考点来源：
一数《【导数热门】零点与找点！姥姥级串讲！》
一数《导数与「指对同构」保姆级讲解》
零点个数的判断
已知函数
f
(
x
)
=
e
x
−
a
x
−
1
f(x) = e^x - ax - 1
f
(
x
)
=
e
x
−
a
x
−
1
，其中
a
∈
R
a \in \mathbb{R}
a
∈
R
。讨论
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的零点个数。
解析
当
a
≤
0
a\leq 0
a
≤
0
时，
f
′
(
x
)
=
e
x
−
a
>
0
f'(x)=e^x-a>0
f
′
(
x
)
=
e
x
−
a
>
0
，
f
f
f
单调递增，
f
(
0
)
=
0
f(0)=0
f
(
0
)
=
0
，恰1个零点。当
a
>
0
a>0
a
>
0
时，
f
′
(
x
)
=
0
f'(x)=0
f
′
(
x
)
=
0
得
x
0
=
ln
a
x_0=\ln a
x
0
=
ln
a
，
f
f
f
先减后增，最小值
f
(
ln
a
)
=
a
−
a
ln
a
−
1
f(\ln a)=a-a\ln a-1
f
(
ln
a
)
=
a
−
a
ln
a
−
1
。设
g
(
a
)
=
a
−
a
ln
a
−
1
g(a)=a-a\ln a-1
g
(
a
)
=
a
−
a
ln
a
−
1
，
g
′
(
a
)
=
−
ln
a
g'(a)=-\ln a
g
′
(
a
)
=
−
ln
a
，
g
(
1
)
=
0
g(1)=0
g
(
1
)
=
0
为最大值。故
a
=
1
a=1
a
=
1
时1个零点（
x
=
0
x=0
x
=
0
），
a
∈
(
0
,
1
)
∪
(
1
,
+
∞
)
a\in(0,1)\cup(1,+\infty)
a
∈
(
0
,
1
)
∪
(
1
,
+
∞
)
时2个零点。
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