数学救急室
#8916d7d8-5b9e-4e5b-bb08-baa9b1d82702中等解答题恒成立与端点效应导数
考点来源：一数《必要探路法！导数不能不学的方法》一数《BV1VafCB4EL1》一数《BV1mcPMzbEvK》

13．（2023•乌鲁木齐模拟）已知f(x)=2lnx+ax+bxf(x)=2lnx+ax+\frac{b}{x}在x=1x=1处的切线方程为y=−3xy=-3x． （1）求函数f(x)f(x)的解析式； （2）f′(x)f'(x)是f(x)f(x)的导函数，证明：对任意x∈[1x\in [1，+∞)+\infty )，都有f(x)−f′(x)⩽−2x+1x+1f(x)-f'(x)\leqslant -2x+\frac{1}{x}+1．

解析
【解答】解：（1）由题意可得，ff（1）=a+b=−3=a+b=-3，且f′(x)=2x+a−bx2f'(x)=\frac{2}{x}+a-\frac{b}{x^2}，则f′f'（1）=2+a−b=−3=2+a-b=-3，即a−b=−5a-b=-5， 则a=−4a=-4，b=1b=1， 所以f(x)=2lnx−4x+1xf(x)=2lnx-4x+\frac{1}{x}； （2）证明：由（1）可知，f(x)=2lnx−4x+1xf(x)=2lnx-4x+\frac{1}{x}，f′(x)=2x−4−1x2f'(x)=\frac{2}{x}-4-\frac{1}{x^2}， 所以f(x)−f′(x)=2lnx−4x−1x+1x2+4f(x)-f'(x)=2lnx-4x-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+4， 令g(x)=2lnx−4x−1x+1x2+4−(−2x+1x+1)=2lnx−2x−2x+1x2+3g(x)=2lnx-4x-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+4-({-2x+\frac{1}{x}+1})=2lnx-2x-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}+3， 则g′(x)=2x−2+2x2−2x3=−2(1−x)2(1+x)x3g'(x)=\frac{2}{x}-2+\frac{2}{x^2}-\frac{2}{x^3}=\frac{-2{{({1-x})}^2}({1+x})}{x^3}， 所以x⩾1x\geqslant 1时，g′(x)=−2(1−x)2(1+x)x3⩽0g'(x)=\frac{-2{{({1-x})}^2}({1+x})}{x^3}\leqslant 0， 即g(x)g(x)在x∈[1x\in [1，+∞)+\infty )上单调递减， 所以g(x)⩽gg(x)\leqslant g（1），即g(x)=2lnx−4x−1x+1x2+4−(−2x+1x+1)⩽0g(x)=2lnx-4x-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+4-({-2x+\frac{1}{x}+1})\leqslant 0， 所以f(x)−f′(x)−(−2x+1x+1)⩽0f(x)-f'(x)-({-2x+\frac{1}{x}+1})\leqslant 0，即f(x)−f′(x)⩽−2x+1x+1f(x)-f'(x)\leqslant -2x+\frac{1}{x}+1．

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