数学救急室
#bee956ef-1ed4-4b62-b359-3868b1174695基础填空题圆锥曲线大题方法论直线与圆+圆锥曲线
考点来源：一数《【高考最后十课】圆锥曲线大题！2025高考冲刺！》一数《圆锥曲线 定点问题》一数《【高考最后十课】圆锥曲线小题！2025高考冲刺！》一数《BV1F615BpErW》

12．已知椭圆x29+y25=1\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1的左焦点为FF，点PP在椭圆上且在xx轴的上方．若线段PFPF的中点在以原点OO为圆心，∣OF∣\vert OF\vert为半径的圆上，则直线PFPF的斜率是____． ellipse midpoint on focus circle diagram

解析
【解答】解：椭圆x29+y25=1\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1的a=3a=3，b=5b=\sqrt{5}，c=2c=2，e=23e=\frac{2}{3}， 设椭圆的右焦点为F′F'，连接PF′PF'， 线段PFPF的中点AA在以原点OO为圆心，2为半径的圆， 连接AOAO，可得∣PF′∣=2∣AO∣=4\vert PF'\vert =2\vert AO\vert =4， 设PP的坐标为(m,n)(m,n)，可得3−23m=43-\frac{2}{3}m=4，可得m=−32m=-\frac{3}{2}，n=152n=\frac{\sqrt{15}}{2}， 由F(−2,0)F(-2,0)，可得直线PFPF的斜率为 152−32+2=15\frac{\frac{\sqrt{15}}{2}}{-\frac{3}{2}+2}=\sqrt{15}． 另解：由∣PF′∣=2∣AO∣=4\vert PF'\vert =2\vert AO\vert =4，∣PF∣=6−4=2\vert PF\vert =6-4=2，∣FF′∣=2c=4\vert FF'\vert =2c=4， 可得cos⁡∠PFF′=4+16−162×2×4=14\cos \angle PFF'=\frac{4+16-16}{2\times 2\times 4}=\frac{1}{4}， sin⁡∠PFF′=1−116=154\sin \angle PFF'=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}， 可得直线PFPF的斜率为sin⁡∠PFF′cos⁡∠PFF′=15\frac{\sin \angle PFF'}{\cos \angle PFF'}=\sqrt{15}． 故答案为：15\sqrt{15}． 图片包含 游戏机 描述已自动生成
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