数学救急室
#c385cd7f-4039-4707-9f38-ddde640ba2c7中等解答题恒成立与端点效应导数
考点来源：一数《必要探路法！导数不能不学的方法》一数《BV1VafCB4EL1》一数《BV1mcPMzbEvK》

24．（2023春•日照期末）已知函数f(x)=xlnxf(x)=xlnx，ee为自然对数的底数． （1）求曲线y=f(x)y=f(x)在x=e−4x=e^{-4}处的切线方程； （2）对于任意的x∈(0,+∞)x\in (0,+\infty )，不等式f(x)−λ(x−1)⩾0f(x)-\lambda (x-1)\geqslant 0恒成立，求实数λ\lambda的值； （3）若关于xx的方程f(x)=af(x)=a有两个实根x1x_{1}，x2x_{2}，求证：∣x1−x2∣<4a3+1+13e4\vert {x}_{1}-{x}_{2}\vert <\frac{4a}{3}+1+\frac{1}{3{e}^{4}}．

解析
【主解法】 第1步：（1）对函数f(x)f(x)求导得f′(x)=lnx+1f\prime (x)=lnx+1， ∴f′(e−4)=lne−4+1=−3\therefore f\prime (e^{-4})=lne^{-4}+1=-3， 写出f(x)的导函数f′(x) 第2步：又f(e−4)=e−4lne−4=−4e−4f(e^{-4})=e^{-4}lne^{-4}=-4e^{-4}， ∴\therefore曲线y=f(x)y=f(x)在x=e−4x=e^{-4}处的切线方程为y−(−4e−4)=−3(x−e−4)y-(-4e^{-4})=-3(x-e^{-4})， 写出f(e⁻⁴)的化简结果 第3步：即y=−3x−e−4y=-3x-e^{-4}； 写出曲线在点处的切线方程 第4步：（2）记g(x)=f(x)−λ(x−1)=xlnx−λ(x−1)g(x)=f(x)-\lambda (x-1)=xlnx-\lambda (x-1)，其中x>0x>0， 写出g(x)的表达式 第5步：由题意知g(x)⩾0g(x)\geqslant 0在(0,+∞)(0,+\infty )上恒成立， 下面求函数g(x)g(x)的最小值， 对g(x)g(x)求导得g′(x)=lnx+1−λg\prime (x)=lnx+1-\lambda， 写出g(x)的导函数g′(x) 第6步：令g′(x)=0g\prime (x)=0，得x=eλ−1x=e^{\lambda -1}， 令g′(x)=0g\prime (x)=0，得x=eλ−1x=e^{\lambda -1}， 第7步：当xx变化时，g′(x)g\prime (x)，g(x)g(x)变化情况列表如下： -------------------------- -------------------------- -------------------------- ------------------------------- 写出g′(x)的表达式 第8步：令G′(λ)=0G\prime (\lambda )=0，得λ=1\lambda =1， 令G′(λ)=0G\prime (\lambda )=0，得λ=1\lambda =1， 第9步：当λ\lambda变化时，G′(λ)G\prime (\lambda )，G(λ)G(\lambda )变化情况列表如下： -------------------------- -------------------------- ----------------- -------------------- 计算G′(λ)的零点值 第10步：故λ−eλ−1⩽0\lambda -e^{\lambda -1}\leqslant 0当且仅当λ=1\lambda =1时取等号， 故λ−eλ−1⩽0\lambda -e^{\lambda -1}\leqslant 0当且仅当λ=1\lambda =1时取等号， 第11步：又λ−eλ−1⩾0\lambda -e^{\lambda -1}\geqslant 0，从而得到λ=1\lambda =1； 又λ−eλ−1⩾0\lambda -e^{\lambda -1}\geqslant 0，从而得到λ=1\lambda =1； 第12步：（3）证明：先证f(x)⩾−3x−e−4f(x)\geqslant -3x-e^{-4}， 记h(x)=f(x)−(−3x−e−4)=xlnx+3x+e−4h(x)=f(x)-(-3x-e^{-4})=xlnx+3x+e^{-4}，则h′(x)=lnx+4h\prime (x)=lnx+4， 写出h(x)的表达式 第13步：令h′(x)=0h\prime (x)=0，得x=e−4x=e^{-4}， 令h′(x)=0h\prime (x)=0，得x=e−4x=e^{-4}， 第14步：当xx变化时，h′(x)h\prime (x)，h(x)h(x)变化情况列表如下： -------------------------- -------------------------- -------------------------- ------------------------------- 写出h(x)中右侧的线性函数表达式 第15步：故∣x1−x2∣=x2−x1⩽x2′−x1′=(a+1)−(−a3−13e4)=4a3+1+13e4\vert x_{1}-x_{2}\vert =x_{2}-x_{1}\leqslant x_{2}\prime -x_{1}\prime =(a+1)-(-\frac{a}{3}-\frac{1}{3{e}^{4}})=\frac{4a}{3}+1+\frac{1}{3{e}^{4}}， 因 写出条件：x2−x1x_2 - x_1不超过的表达式

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