数学救急室
#d65f9d74-54d1-4442-8f46-0a9c2ddeccab
中等
解答题
构造函数法
导数
构造辅助函数证不等式
已知
a
>
b
>
0
a > b > 0
a
>
b
>
0
，证明：
a
−
b
ln
a
−
ln
b
>
a
b
\dfrac{a - b}{\ln a - \ln b} > \sqrt{ab}
ln
a
−
ln
b
a
−
b
>
ab
。
解析
设
t
=
a
/
b
>
1
t=a/b>1
t
=
a
/
b
>
1
，化简为
t
−
1
ln
t
>
t
\frac{t-1}{\ln t}>\sqrt{t}
l
n
t
t
−
1
>
t
。令
u
=
t
>
1
u=\sqrt{t}>1
u
=
t
>
1
（
t
=
u
2
t=u^2
t
=
u
2
），则
u
2
−
1
2
ln
u
>
u
\frac{u^2-1}{2\ln u}>u
2
l
n
u
u
2
−
1
>
u
，即
u
−
1
/
u
>
2
ln
u
u-1/u>2\ln u
u
−
1/
u
>
2
ln
u
。设
h
(
u
)
=
u
−
1
/
u
−
2
ln
u
h(u)=u-1/u-2\ln u
h
(
u
)
=
u
−
1/
u
−
2
ln
u
（
u
>
1
u>1
u
>
1
），
h
(
1
)
=
0
h(1)=0
h
(
1
)
=
0
，
h
′
(
u
)
=
1
+
1
/
u
2
−
2
/
u
=
(
u
−
1
)
2
/
u
2
>
0
h'(u)=1+1/u^2-2/u=(u-1)^2/u^2>0
h
′
(
u
)
=
1
+
1/
u
2
−
2/
u
=
(
u
−
1
)
2
/
u
2
>
0
。故
h
(
u
)
>
h
(
1
)
=
0
h(u)>h(1)=0
h
(
u
)
>
h
(
1
)
=
0
，证毕。
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