数学救急室
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中等
解答题
构造函数法
导数
【代表题】构造函数法 · 第三道
证明：当
x
>
0
x > 0
x
>
0
时，
e
x
>
1
+
x
+
x
2
2
e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2}
e
x
>
1
+
x
+
2
x
2
。
解析
构造
h
(
x
)
=
e
x
−
1
−
x
−
x
2
2
h(x) = e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}
h
(
x
)
=
e
x
−
1
−
x
−
2
x
2
。
h
(
0
)
=
0
h(0) = 0
h
(
0
)
=
0
。
h
′
(
x
)
=
e
x
−
1
−
x
h'(x) = e^x - 1 - x
h
′
(
x
)
=
e
x
−
1
−
x
，
h
′
(
0
)
=
0
h'(0) = 0
h
′
(
0
)
=
0
。
h
′
′
(
x
)
=
e
x
−
1
>
0
h''(x) = e^x - 1 > 0
h
′′
(
x
)
=
e
x
−
1
>
0
对
x
>
0
x > 0
x
>
0
恒成立。故
h
′
(
x
)
h'(x)
h
′
(
x
)
在
(
0
,
+
∞
)
(0, +\infty)
(
0
,
+
∞
)
严格递增，
h
′
(
x
)
>
h
′
(
0
)
=
0
h'(x) > h'(0) = 0
h
′
(
x
)
>
h
′
(
0
)
=
0
。故
h
(
x
)
h(x)
h
(
x
)
严格递增，
h
(
x
)
>
h
(
0
)
=
0
h(x) > h(0) = 0
h
(
x
)
>
h
(
0
)
=
0
，即
e
x
>
1
+
x
+
x
2
/
2
e^x > 1 + x + x^2/2
e
x
>
1
+
x
+
x
2
/2
。
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