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圆锥曲线精品包 · 首批 7 题

先建题型库,再往每类里面塞题

现在按题型、易错点、手法三条线整理目录;每个目录下面挂已接入题目和待补题目,后续扩题就往对应格子里塞。

题型定位
图像识别
联立韦达
易错诊断

圆锥曲线题型库

每一类下面显示已经塞进去的题目,没有题的类先作为补题队列。

已接入 7 题 / 7 类
题型椭圆基础参数与离心率已塞 1 题

先把顶点、焦点、a,b,c,e 的关系练熟,再处理几何条件转方程。

顶点焦点坐标两点距离勾股定理离心率方程
已接入题目
椭圆三点关系求离心率
痛点:顶点、焦点坐标会背,但不会把直角条件转成方程。
易错点和待补题
  • 直角顶点判断错。
  • a,b,c 关系套错。
  • 离心率取值范围漏检。
焦点三角形求离心率准线条件求 e椭圆定义求参数
易错点圆与直线距离条件已塞 1 题

重点整理“有几个交点/有几个圆上点满足距离条件”这类判断题。

配方求圆心半径点到直线距离平行距离线分类讨论
已接入题目
圆上点到直线距离求参数范围
痛点:知道点到直线距离公式,但不会判断“恰有两个点”的几何条件。
易错点和待补题
  • 把恰有两个点误判成相切。
  • 半径写成 a 而不是 |a|。
  • 绝对值分类漏边界。
直线截圆弦长范围圆上点到两条直线距离相等参数直线与圆位置关系
手法轨迹方程与中点代换已塞 1 题

把动点、相关点、中点坐标关系整理成一类,不再每题重新想。

中垂线联立求圆心中点坐标反代轨迹圆
已接入题目
圆方程与中点轨迹
痛点:第一问会求圆,第二问一换成动点轨迹就断档。
易错点和待补题
  • 轨迹变量和原动点变量混用。
  • 中点反代比例漏掉。
  • 轨迹范围不检查。
椭圆中点弦轨迹定比分点轨迹动圆圆心轨迹
题型抛物线焦点弦、焦半径与面积已塞 1 题

抛物线大题高频入口:标准方程、过焦点直线、韦达、弦长和面积放在一起练。

标准方程焦点坐标直线联立韦达定理弦长公式点到直线距离
已接入题目
抛物线焦点弦长与面积
痛点:会求标准方程,但焦点弦、韦达和面积公式连不起来。
易错点和待补题
  • p 和 p/2 混淆。
  • 韦达量代错。
  • 弦长或面积公式漏因子。
焦点弦比例焦半径和定值抛物线三角形面积最值
手法直线与圆锥曲线联立韦达已塞 1 题

这是后面定值、定点、面积最值的底层手法,要集中塞题训练。

设直线判别式韦达设而不求弦长/面积
已接入题目
2024 北京椭圆联立韦达求 t
痛点:会设直线联立,但看到 $BD$ 水平和 $AC$ 二次相交时容易硬算三个点,漏掉椭圆关于 $y$ 轴对称这一条捷径。
易错点和待补题
  • 只会硬解交点。
  • 判别式条件漏写。
  • x₁+x₂ 与 x₁x₂ 写反。
椭圆面积表达式斜率乘积定值
易错点双曲线定义、渐近线与离心率已塞 1 题

双曲线最容易把椭圆公式套错,先按公式易混点整理题目。

定义转距离差渐近线斜率a,b,c 关系离心率范围
已接入题目
双曲线渐近线求离心率
痛点:会背渐近线方程,但一到离心率就把双曲线的 $c^2=a^2+b^2$ 和椭圆公式混用。
易错点和待补题
  • 把椭圆的 a²=b²+c² 套到双曲线。
  • 实轴虚轴方向看反。
  • 渐近线斜率倒置。
定义求标准方程焦点三角形与渐近线
题型定点、定值与最值综合已塞 1 题

最后的大题综合区,按目标式整理,不是盲目消元。

联立消元韦达代换目标式整理函数最值
已接入题目
椭圆过焦点弦倒数和定值
痛点:会设线联立,但不知道定值题要先把目标式改写成韦达可代入的形式。
易错点和待补题
  • 没有先写目标式。
  • 保留变量选错。
  • 面积底高不对应同一个三角形。
定点问题面积最值与范围
1单题椭圆基础参数

椭圆三点关系求离心率

归入:椭圆离心率 / 几何条件转代数

痛点:顶点、焦点坐标会背,但不会把直角条件转成方程。

图像重点:顶点 A、B、焦点 F 与直角三角形 ABF

2单题圆与直线距离

圆上点到直线距离求参数范围

归入:圆与直线距离 / 参数范围

痛点:知道点到直线距离公式,但不会判断“恰有两个点”的几何条件。

图像重点:圆心到直线距离 d、半径 r、平行距离线

3大题组轨迹方程

圆方程与中点轨迹

归入:圆方程 + 动点轨迹

痛点:第一问会求圆,第二问一换成动点轨迹就断档。

图像重点:中垂线、圆心、动点 N 与中点 P 的轨迹圆

4大题组抛物线焦点弦

抛物线焦点弦长与面积

归入:抛物线焦点弦 / 联立韦达 / 面积

痛点:会求标准方程,但焦点弦、韦达和面积公式连不起来。

图像重点:抛物线、焦点 F、焦点弦 MN 与三角形面积

5大题组直线与椭圆综合

2024 北京椭圆联立韦达求 t

归入:椭圆参数 + 直线联立韦达 + 对称转化

痛点:会设直线联立,但看到 $BD$ 水平和 $AC$ 二次相交时容易硬算三个点,漏掉椭圆关于 $y$ 轴对称这一条捷径。

图像重点:焦点-短轴端点正方形、过点 (0,t) 的割线 AB、D 与 B 的水平对称关系

6单题双曲线基础参数

双曲线渐近线求离心率

归入:双曲线渐近线 / 离心率

痛点:会背渐近线方程,但一到离心率就把双曲线的 $c^2=a^2+b^2$ 和椭圆公式混用。

图像重点:双曲线两条渐近线、实轴方向、a/b/c 的关系

7单题定值综合

椭圆过焦点弦倒数和定值

归入:椭圆焦点弦 / 焦半径 / 定值

痛点:会设线联立,但不知道定值题要先把目标式改写成韦达可代入的形式。

图像重点:椭圆、右焦点 F、过焦点割线 AB 与两段焦半径