题1: 9．（2021春•河南月考）已知函数$f(x)=xe^{x}-3e^{x}$．
（1）求$f(x)$的极值；
（2）若$g(x)=f\prime (x)-x+lnx$在$[\frac{1}{4}$，$1]$上的最大值为$\lambda$，求证：$-6e^{-3}<f(\lambda )<-7e^{-4}$；
简单解答题
题2: 5．（2023春•咸阳期末）已知函数$f(x)=xln(x+1),g(x)=a(x+\frac{1}{x+1}-1)$．
（1）求曲线$y=f(x)$在点$(1$，$f$（1）$)$处的切线方程；
（2）记$h(x)=g(x)-f(x)$，若当$x\in (-1,0)$时，$h(x)>0$恒成立，求正实数$a$的取值范围．
中等解答题
题3: 2．（2023春•阜阳期末）已知函数$f(x)=xlnx+\frac{1}{2}e{x^2}-x$．
（1）讨论$f(x)$的单调性；
（2）令$g(x)=f(x)+\frac{1}{2}e{x^2}+({a+1})x+\frac{2}{e}$，若不等式$g(x)\geqslant 0$恒成立，求$a$的最小值．
中等解答题
题4: 7．（2023•葫芦岛二模）已知函数$f(x)=ax^{3}-ax-xlnx$，且$f(x)\geqslant 0$．
（1）求$a$；
（2）证明：$f(x)$存在唯一的极大值点$x_{0}$，且${e}^{-\frac{3}{2}}<f({x}_{0})<\frac{1}{e}$．
中等解答题
题5: 3．（2023春•河池期末）已知函数$f(x)=e^{x-1}-lnx$．
（1）求函数$f(x)$的最小值；
（2）求证：$exf(x)+({ex-1})lnx-{e^x}+\frac{1}{2}>0$．
中等解答题