导数压轴题常见模型

题1: 1．求下列函数的导数． （1）$f(x)=\frac{1}{2}{x^2}-x-\frac{1}{x}$； （2）$f(x)=e^{x}+lnx+\sin x$

题2: 12．已知函数$f(x)=2x-lnx$，求函数的极值．

题3: 5．（2023•长沙模拟）已知函数$f(x)=(mx-1)e^{x}-x^{2}$，若不等式$f(x)<0$的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数$m$的取值范

题4: 33．已知函数$f(x)=\frac{1}{3}{x^3}-ax+4$在$x=2$处有极值． （Ⅰ）求$a$的值并判断$x=2$是极大值点还是极小值点； （Ⅱ）

题5: 2．已知函数$f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx$的图像与直线$y=-12x-8$相切，切点为$(1,c)$． （1）求$a$，$b$，$c$的值； （2

题6: 47．已知函数$f(x)=\frac{1}{3}{x}^{3}-\frac{1}{2}a{x}^{2}$． （1）若$x=1$是函数$f(x)$的极小值点，求$a$的值； （2）讨论$f(x)$的单调性．

题7: 21．已知函数$g(x)=3x^{3}-9x+5$． （1）求函数$g(x)$的单调区间； （2）求函数$g(x)$在区间$[-2$，$2]$上的最大值与最小值

题8: 46．设函数$f(x)=ax^{2}e^{x}-blnx$的图象在点$(1,e)$处切线的斜率为$3e-1(e\approx 2.72)$． （1）求实数$a$

题9: 51．已知函数$f(x)=xlnx+x$． （1）求曲线$y=f(x)$在$x=1$处的切线方程． （2）若$f(x)\geqslant a$在定义域上恒成立，

题10: 51．已知函数$f(x)=xlnx+x$． （1）求曲线$y=f(x)$在$x=1$处的切线方程． （2）若$f(x)\geqslant a$在定义域上恒成立，

题11: 18．（2023春•浦东新区校级期末）设函数$f(x)=(3-x)e^{x}-tx+5t$，$t\in R$，若有且仅有两个整数$x_{i}(i=1,2)$满足

题12: 21．（2023•河南模拟）已知函数$f(x)=(2x-3)e^{2}-(ax+1)e^{x}+2ae^{x}(a>0,a\in R)$，若存在唯一的整数$x_{0}$，使得$f(x_{0})>0$，则实数$a$的取值范围是 ____．

题13: 4．（2022秋•萍乡期末）已知函数$f(x)=ax+lna$，$g(x)=x+e^{x}-lnx$，若关于$x$的不等式$f(x)>g(x)$在区间$(0,+\infty )$内有且只有两个整数解，则实数$a$的取值范围为$($　　$)$

题14: 15．（2023•云南模拟）设函数$f(x)=xe^{x}+ax$，$a>-1$，若存在唯一整数$x_{0}$，使得$f(x_{0})<0$，则$a$的取值范围

题15: 59．已知函数$f(x)=2\sin x-ln(1+x)(0<x<\pi )$． （1）证明：函数$f(x)$有唯一的极值点$\alpha$，及唯一的零点$\beta$； （2）对于（1）问中$\alpha$，$\beta$，比较$2\alpha$与$\beta$的大小，并证明你的结论．

题16: 36．已知函数$f(x)=\frac{e^x}{x}$． （Ⅰ）求$f(x)$的图象在点$(1$，$f$（1）$)$处的切线方程； （Ⅱ）求证：当$x\ne 0$时，$\frac{1}{xf(x)}>1-x$．

题17: 38．（1）已知函数$f(x)=x+\frac{a}{x}(x>0,a\in {R})$，指出函数$f(x)$的单调性．（不需要证明过程）； （2）若关于$\theta$的方程$\sin ^{2}2\theta +k\sin 2\theta +\sqrt{2}k\cos ({\theta -\frac{\pi }{4}})\sin 2\theta +4{\sin ^2}({\theta +\frac{\pi }{4}})+2k(\sin \theta +\cos \theta )+k=0$在$\theta \in [{0,\frac{\pi }{2}}]$有实数解，求实数$k$的最大值．

题18: 5．已知函数$f(x)={e^x}{x^{-\frac{1}{2}}}$． （1）求函数$f(x)$的单调区间； （2）求函数$h(x)=\frac{f(x)}{x+1}$的最小值； （3）若函数$f(x)$的图象与直线$y=m$有两个不同的交点$A(x_{1}$，$y_{1})$、$B(x_{2}$，$y_{2})$，证明：$\vert {AB}\vert \leqslant ({\frac{e^4}{2}+\frac{2}{e}})m-\frac{9}{4}$．

题19: 50．已知函数$f(x)=e^{x}-ax-1$． （1）讨论函数$f(x)$的单调性； （2）若$f(x)$有且仅有2个零点，求实数$a$的取值范围．

题20: 49．已知函数$f(x)=e^{2x}$，$g(x)=m(2x+1)(m\in R)$． （Ⅰ）当$m=1$时，证明$f(x)\geqslant g(x)$；

题21: 56．已知$f(x)=\frac{x-a}{{x}^{2}+1}$． （1）若$f(x)$在区间$[1$，$2]$上单调递减，求实数$a$的取值范围； （2）设

题22: 7．已知定义在$[0$，$+\infty )$上的函数$f(x)=m{e}^{x}-\sin (x-\frac{\pi }{6})$，$e$为自然对数的底数．

题23: 39．已知函数$f(x)=alnx-bx^{2}+1$，$a$，$b\in R$．若$f(x)$在$x=1$处与直线$y=0$相切． （1）求$a$，$b$的值

题24: 6．已知函数$f(x)=x^{3}-x^{2}+1$． （1）求$f(x)$的单调区间； （2）过坐标原点作曲线$y=f(x)$的切线，求切点坐标．

题25: 53．已知函数$f(x)=lnx-ax$． （1）求函数$f(x)$的单调区间； （2）若函数$f(x)$有两个相异零点$x_{1}$，$x_{2}$，求证：$x_{1}x_{2}>e^{2}$．

题26: 11．已知函数$f(x)=lnx+ax^{2}+(2a+1)x$． （1）当$a=1$时，求$y=f(x)$曲线在$x=1$处的切线方程； （2）讨论$f(x)$的单调性．

题27: 9．（2023•泰安二模）已知函数$f(x)=(2x-1)e^{x}-ax^{2}-bx+b$，$a$，$b\in R$．$($　　$)$

题28: 2023高考导数与函数综合解答(常规)

题29: 端点效应与恒成立

题30: 17．（2023•河南模拟）已知函数$f(x)=a({{x^2}-x})-\frac{lnx}{x}$，若不等式$f(x)<0$有且仅有1个整数解，则实数$a$的取值范围为 ____．

题31: 55．已知函数$f(x)=x^{2}-mx-1$，$g(x)=xlnx-1$． （Ⅰ）若$f(x)$在区间$(-2,1)$上恰有一个极值点，求实数$m$的取值范

题32: 59．已知函数$f(x)=2\sin x-ln(1+x)(0<x<\pi )$． （1）证明：函数$f(x)$有唯一的极值点$\alpha$，及唯一的零点$\beta$； （2）对于（1）问中$\alpha$，$\beta$，比较$2\alpha$与$\beta$的大小，并证明你的结论．

题33: 17．已知函数$f(x)=2\sin x-x\cos x-x$，$f\prime (x)$为$f(x)$的导数． （1）求曲线$y=f(x)$在点$A(0$，$f(0))$处的切线方程； （2）$g(x)=x^{2}-2x+a(a\in R)$，若对任意$x_{1}\in [0$，$\pi ]$，均存在$x_{2}\in [1$，$2]$，使得$f(x_{1})>g(x_{2})$，求实数$a$的取值范围．

题34: 42．已知函数$f(x)=(x-a)^{3}$，其中$a$为常数，函数$f\prime (x)$是其导函数，且满足$f\prime$（2）$=3$，$f\prime (-2)=27$． （1）求函数$f(x)$的解析式； （2）若函数$f(x)$在某点处的切线过点$M(\frac{5}{3},0)$，求该切线的一般式方程．

题35: 34．已知函数$f(x)=x^{3}+ax^{2}+b$在$x=-2$时取得极大值4． （1）求实数$a$，$b$的值； （2）求函数$f(x)$在区间$[-3$，$1]$上的最值．

题36: 6．已知函数$f(x)=\sin x-ln(1+x)$，$f\prime (x)$为$f(x)$的导数．证明： （1）$f\prime (x)$在区间$(-1,\frac{\pi }{2})$存在唯一极大值点； （2）$f(x)$有且仅有2个零点．

题37: 42．已知函数$f(x)=(x-a)^{3}$，其中$a$为常数，函数$f\prime (x)$是其导函数，且满足$f\prime$（2）$=3$，$f\prime (-2)=27$． （1）求函数$f(x)$的解析式； （2）若函数$f(x)$在某点处的切线过点$M(\frac{5}{3},0)$，求该切线的一般式方程．

题38: 7．已知函数$f(x)=axe^{x}-ln(x+1)(a\in R)$． （1）讨论$f(x)$的极值点的个数； （2）若$f(x)\geqslant 2lna-3ln2-3$恒成立，求实数$a$的最大值．

题39: 60．已知函数$f(x)=e^{x}+ax$（$a\in R$，$e$为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论函数$f(x)$的单调性；（Ⅱ）求函数$f(x)$的极值的最大值．

题40: 60．已知函数$f(x)=e^{x}+ax(a\in R$，$e$为自然对数的底数）． （Ⅰ）讨论函数$f(x)$的单调性； （Ⅱ）求函数$f(x)$的极值的最

题41: 12．（2023春•玉林期中）函数$f(x)=e^{x}(1-3x)+ax-a$，其中$a<1$，若有且只有一个整数$x_{0}$，使得$f(x_{0})>0$

题42: 11．（2022秋•揭阳期末）已知函数$f(x)=x-axe^{x}-ae^{x}$，且存在唯一的整数$x_{0}$，使得$f(x_{0})>0$，则实数$a$

题43: 1．（2023春•孝感期中）已知函数$f(x)=(kx-2)e^{x}-x(x>0)$，若$f(x)<0$的解集为$(m,n)$，且$(m,n)$中恰有一个整数

题44: 8．（2023•黄州区校级三模）已知函数$f(x)=lnx-a(x^{3}-x^{2})$，若不等式$f(x)>0$有且只有三个整数解，则实数$a$的取值可以为

题45: 7．（2023春•浙江期中）对于函数$f(x)=xe^{x}$，则下列说法正确的是$($　　$)$

题46: 10．（2023春•鼓楼区校级期中）已知函数$f(x)=\frac{e^{\frac{1}{2}x}}{x}$，下面选项正确的有$($　　$)$

题47: 45．已知函数$f(x)=x^{3}-3x^{2}+a$，其中$a\in R$． （Ⅰ）当$a=0$时，求曲线$y=f(x)$在点$(1$，$f$（1）$)$处

题48: 6．（2023•浑南区一模）已知不等式$xlnx+(x+1)k<2xln2$的解集中仅有2个整数，则实数$k$的取值范围是$($　　$)$

题49: 2．（2023春•石家庄期中）已知函数$f(x)=xe^{x+1}-kx+k$，有且只有一个负整数$x_{0}$，使$f(x_{0})\leqslant 0$成

题50: 56．已知$f(x)=\frac{x-a}{{x}^{2}+1}$． （1）若$f(x)$在区间$[1$，$2]$上单调递减，求实数$a$的取值范围； （2）设

题51: 35．已知函数$f(x)=2x^{3}+3(a-2)x^{2}-12ax$． （1）当$a=0$时，求$f(x)$在$[-2$，$4]$上的最值； （2）讨论$f(x)$的单调性．

题52: 50．已知函数$f(x)=e^{x}-ax-1$． （1）讨论函数$f(x)$的单调性； （2）若$f(x)$有且仅有2个零点，求实数$a$的取值范围．

题53: 2025高考导数与函数综合解答(压轴候选)

题54: 2023高考导数与函数综合填空(拉开差距)

题55: 2023高考导数与函数综合解答(常规)

题56: 2024高考导数与函数综合多选(拉开差距)

题57: 2025高考导数与函数综合解答(压轴候选)

题58: 2023高考导数与函数综合解答(压轴候选)

题59: 2023高考导数与函数综合解答(压轴候选)

题60: 2024高考导数与函数综合解答(压轴候选)

题61: 2023高考导数与函数综合解答(常规)

题62: 2023高考函数解答(常规)