数学救急室
#398e193a-3cd1-4387-b819-61b9e124f05c中等解答题导数与函数单调性导数及其应用
考点来源：一数《【模块二】1 判断函数零点所在区间》一数《「导数含参单调性讨论」一小时大串讲！》一数《【高二】导数公式+切线+单调性极值！一课搞定！》一数《BV1VafCB4EL1》

含参函数单调性的充要条件

已知函数 f(x)=13x3−12ax2+(a−1)x+1f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}ax^2 + (a - 1)x + 1（a∈Ra \in \mathbb{R}）。 （1）当 a=3a = 3 时，求 f(x)f(x) 的单调区间； （2）若 f(x)f(x) 在 (−∞,+∞)(-\infty, +\infty) 上为单调递增函数，求 aa 的取值范围。

解析
f′(x)=x2−ax+(a−1)f'(x) = x^2 - ax + (a - 1)。 （1）a=3a = 3 时，f′(x)=x2−3x+2=(x−1)(x−2)f'(x) = x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)。 f′(x)>0f'(x) > 0：x<1x < 1 或 x>2x > 2；f′(x)<0f'(x) < 0：1<x<21 < x < 2。 递增区间：(−∞,1)(-\infty, 1) 和 (2,+∞)(2, +\infty)；递减区间：(1,2)(1, 2)。 （2）f(x)f(x) 单调递增需 f′(x)≥0f'(x) \geq 0 恒成立，即 x2−ax+(a−1)≥0x^2 - ax + (a - 1) \geq 0 恒成立。 判别式 Δ=a2−4(a−1)=a2−4a+4=(a−2)2≤0\Delta = a^2 - 4(a - 1) = a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2 \leq 0。 (a−2)2≥0(a - 2)^2 \geq 0 恒成立，等号当 a=2a = 2 时成立。 故 Δ=0\Delta = 0 时 a=2a = 2，此时 f′(x)=(x−1)2≥0f'(x) = (x - 1)^2 \geq 0 恒成立 ✓。 答案：a=2a = 2。

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