数学救急室
#f579c33b-4f93-46bf-a1d7-1965cd410342中等解答题导数与函数单调性导数及其应用
考点来源：一数《【模块二】1 判断函数零点所在区间》一数《「导数含参单调性讨论」一小时大串讲！》一数《【高二】导数公式+切线+单调性极值！一课搞定！》一数《BV1VafCB4EL1》

18．（2023•德州三模）已知函数f(x)=lnx+12(a−x)2f(x)=lnx+\frac{1}{2}(a-x)^{2}，其中a∈Ra\in R． （1）当a=1a=1时，求函数f(x)f(x)在(1(1，ff（1）))处的切线方程； （2）讨论函数f(x)f(x)的单调性；

解析
【主解法】 第1步：（1）当a=1a=1时，f(x)=lnx+12(1−x)2f(x)=lnx+\frac{1}{2}(1-x)^{2}，定义域为(0,+∞)(0,+\infty )， 计算当a=1时f(x)中常数项的值 第2步：所以f′(x)=1x−(1−x)f\prime (x)=\frac{1}{x}-(1-x)， 写出 f′(x)f'(x) 的表达式 第3步：所以k=f′k=f\prime（1）=1=1， 写出 kk 所等于的导数符号表示 第4步：又ff（1）=0=0， 又ff（1）=0=0， 第5步：所以函数f(x)f(x)在(1(1，ff（1）))处的切线方程为y=x−1y=x-1，即x−y−1=0x-y-1=0． 根据题意，列出所以函数f(x)f(x)在(1(1，ff（1）))处的切线方程为y=x−1y=x-1，即x−y−1=0x-y-1=0．对应的方程或等式 第6步：（2）f(x)f(x)的定义域是(0,+∞)(0,+\infty )， f(x)=lnx+12x2−ax+12a2f(x)=lnx+\frac{1}{2}{x}^{2}-ax+\frac{1}{2}{a}^{2}，f′(x)=1x+x−a=x2−ax+1xf\prime (x)=\frac{1}{x}+x-a=\frac{{x}^{2}-ax+1}{x}， 写出 f(x)f(x) 的完整表达式 第7步：令g(x)=x2−ax+1g(x)=x^{2}-ax+1，则△=a2−4=a^{2}-4． ①当a⩽0a\leqslant 0或△⩽0\leqslant 0，即a⩽2a\leqslant 2时，f′(x)⩾0f\prime (x)\geqslant 0恒成立， 写出函数g(x)的表达式 第8步：所以f(x)f(x)在(0,+∞)(0,+\infty )上单调递增． ②当{a>0△>0\left\{\begin{array}{l}a>0\\ \triangle >0\end{array}\right.，即a>2a>2时， 由f′(x)>0f\prime (x)>0，得0<x<\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4 根据所以f(x)在在(0,+\infty )上单调递增．②当上单调递增． ②当\left\{\begin{array}{l}a>0\\ \triangle >0\end{array}\right.，即，即a>2时，由时， 由f\prime (x)>0，得，得0<x<\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4，写出对应的结果 第9步：所以f(x)f(x)在(0,a−a2−42)(0,\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2})和(a+a2−42,+∞)(\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2},+\infty )上单调递增，在(\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2},\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2 根据所以f(x)在在(0,\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2})和和(\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2},+\infty )上单调递增，在上单调递增，在(\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2},\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2，写出对应的结果 第10步：当a>2a>2时，f(x)f(x)在(0,a−a2−42)(0,\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2})和(a+a2−42,+∞)(\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2},+\infty )上单调递增，在(\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2},\frac{a+\sqrt{{a}^{2} 当a>2时，时，f(x)在在(0,\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2})和和(\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2},+\infty )上单调递增，在上单调递增，在(\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2},\frac{a+\sqrt{{a}^{2}

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