数学救急室 - 高中数学分步推理与卡点练习

#f0d30b6f-7cf0-43d5-b6e0-565c97868c69中等解答题导数与函数单调性导数及其应用

考点来源：一数《【模块二】1 判断函数零点所在区间》一数《「导数含参单调性讨论」一小时大串讲！》一数《【高二】导数公式+切线+单调性极值！一课搞定！》一数《BV1VafCB4EL1》

8．（2023春•怀仁市期末）已知函数 $f(x)=({x-2}){e^x}-\frac{a}{2}{x^2}+ax$ ， $a\in R$ ．（1）若 $a=0$ 时，求 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的切线方程；（2）讨论函数 $f(x)$ 的单调性．

解析

【主解法】第1步：（1）当

a=0

时，

f(x)=(x-2)e^{x}

，

f'(x)=(x-1)e^{x}

，

f'(0)=(0-1)e^{0}=-1

，

f(0)=-2

，

\therefore

切线方程为：

y-(-2)=(-1)(x-0)

，即

x+y+2=0

．计算

f'(0)

的数值第2步：（2）因为

f(x)=({x-2}){e^x}-\frac{a}{2}{x^2}+ax

，

a\in R

，根据（2）因为

f(x)=({x-2}){e^x}-\frac{a}{2}{x^2}+ax

，

a\in R

，，写出对应的结果第3步：所以

f'(x)=(x-1)e^{x}-ax+a=(x-1)(e^{x}-a)

． ①当

a\leqslant 0

时，令

f'(x)<0

，得

x<1

，

\therefore f(x)

在

(-\infty ,1)

上单调递减；根据所以

f'(x)=(x-1)e^{x}-ax+a=(x-1)(e^{x}-a)

． ①当

a\leqslant 0

时，令

f'(x)<0

，得

x<1

，

\therefore f(x)

在

(-\infty ,1)

上单调递减；，写出对应的结果第4步：令

f'(x)>0

，得

x>1

，

\therefore f(x)

在

(1,+\infty )

上单调递增； ②当

0<a<e

时，令

f'(x)<0

，得

lna<x<1

，

\therefore f(x)

在

(lna,1)

上单调递减；写出使

f'(x)>0

成立的

x

的取值条件第5步：令

f'(x)>0

，得

x<lna

或

x>1

，

\therefore f(x)

在

(-\infty ,lna)

和

(1,+\infty )

上单调递增， ③当

a=e

时，

f'(x)\geqslant 0

在

x\in R

时恒成立，

\therefore f(x)

在

R

单调递增；写出使

f'(x)>0

成立的临界点处的底数第6步：令

f'(x)>0

，得

x>lna

或

x<1

，

\therefore f(x)

在

(-\infty ,1)

和

(lna,+\infty )

上单调递增．综上所述：当

a\leqslant 0

时，

f(x)

在

(-\infty ,1)

上单调递减，在

(1,+\infty )

上单调递写出f'(x)>0的一个解集条件第7步：当

0<a<e

时，

f(x)

在

(lna,1)

上单调递减，在

(-\infty ,lna)

和

(1,+\infty )

上单调递增；当

0<a<e

时，

f(x)

在

(lna,1)

上单调递减，在

(-\infty ,lna)

和

(1,+\infty )

上单调递增；第8步：当

a=e

时，

f(x)

在

R

上单调递增；当

a=e

时，

f(x)

在

R

上单调递增；第9步：当

a>e

时，

f(x)

在

(1,lna)

上单调递减，在

(-\infty ,1)

和

(lna,+\infty )

上单调递增．当

a>e

时，

f(x)

在

(1,lna)

上单调递减，在

(-\infty ,1)

和

(lna,+\infty )

上单调递增．

同知识点相似题

中等解答题14．（2023春•仁寿县校级期中）已知函数

f(x)=lnx+ax^{2}+(2a+1)x

．（1）当

a=1

时，求

y=f(x)

曲线在

x=1

处的切→

中等解答题18．（2023•德州三模）已知函数

f(x)=lnx+\frac{1}{2}(a-x)^{2}

，其中

a\in R

．（1）当

a=1

时，求函数

f(x)

在

(1

，

f

（1）

)

处的切线方程；（2）讨论函数

f(x)

的单调性；→

中等解答题10．（2023春•唐山期末）已知函数

f(x)=e^{x}-ax-1

．（1）讨论函数

f(x)

的单调性；（2）若

f(x)

有且仅有2个零点，求实数

a

的取值范围．→

中等解答题9．（2023春•芗城区校级月考）已知函数

f(x)=e^{x}-2ax(a\in R)

．（1）讨论函数

f(x)

的单调区间；→

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