恒成立与端点效应

题1: 16．（2023春•芗城区校级月考）已知函数$f(x)=e^{x}-2ax(a\in R)$． （1）讨论函数$f(x)$的单调区间； （2）当$x\in [2$，$3]$时$f(x)\leqslant 0$恒成立，求实数的$a$的取值范围．

题2: 【代表题】恒成立·分离参数求范围（两问）

题3: 4．（2023春•渝中区校级期末）（1）不等式$lnx\leqslant mx-1$对任意的$x>0$恒成立，求$m$的取值范围． （2）当$a\in (0,1)$，求证：${e^x}-{x^2}+({a-\frac{1}{3}})x>lnx$（参考数据：$e^{2}\approx 7.4$，$e^{3}\approx 20.1)$．

题4: 13．（2023•乌鲁木齐模拟）已知$f(x)=2lnx+ax+\frac{b}{x}$在$x=1$处的切线方程为$y=-3x$． （1）求函数$f(x)$的解

题5: 10．（2023春•大连期末）已知函数$f(x)=2\cos x+ln(1+x)-1$． （1）判断函数$f(x)$在区间$(0,\frac{\pi }{2})$上零点和极值点的个数，并给出证明； （2）若$x\geqslant 0$时，不等式$f(x)\leqslant ax+1$恒成立，求实数$a$的取值范围．

题6: 15．（2023春•鼓楼区校级期末）已知定义在$R$上的奇函数$f(x)$和偶函数$g(x)$满足$f(x)+g(x)=2^{x}$． （1）求函数$y=\frac{f(x)}{g(x)}$的值域； （2）若存在$x\in [\frac{1}{2},2]$，使得不等式$af(x)-g(2x)<0$成立，求实数$a$的取值范围．

题7: 2．（2023•青羊区校级模拟）已知函数$f(x)=aln(x-\frac{\pi }{4})+\sin x$，其中$a$为实数． （1）若$f(x)$在区间$(\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4})$上单调递增，求$a$的取值范围； （2）求证：对任意的实数$a$，方程$f(x)=\cos x$均有解．

题8: 26．（2023春•朝阳区期末）已知函数$f(x)=e^{2x}$，$g(x)=m(2x+1)(m\in R)$． （Ⅰ）当$m=1$时，证明$f(x)\geqslant g(x)$； （Ⅱ）若直线$y=g(x)$是曲线$y=f(x)$的切线，设$h(x)=f(x)-g(x)$，求证：对任意的$a>b$，都有$\frac{h(a)-h(b)}{a-b}<2{e}^{2a}-2$．

题9: 22．（2023春•昆明期末）已知函数$f(x)=ax^{3}+bx^{2}+1(a,b\in R)$在$x=1$处取得极值0． （1）求$a$，$b$； （2

题10: 8．（2023春•东城区校级月考）设函数$f(x)=x(x^{2}-3x+a)$，$a\in R$． （1）当$a=-9$时，求函数$f(x)$的单调增区间；

题11: 含参不等式恒成立求参数范围

题12: 24．（2023春•日照期末）已知函数$f(x)=xlnx$，$e$为自然对数的底数． （1）求曲线$y=f(x)$在$x=e^{-4}$处的切线方程； （2）

题13: 30．（2023春•天津期末）已知函数$f(x)=(a-1)lnx-(a-1)x+1$． （1）证明：当$a=2$时，$f(x)\leqslant 0$恒成立；

题14: 17．（2023春•驻马店月考）已知函数$f(x)=\frac{{x}^{2}}{4}-\sqrt{x}$． （1）求曲线$y=f(x)$在点$(4$，$f$（

题15: 14．（2023春•朝阳区校级期末）已知函数$f(x)=(a-1)lnx+x+\frac{a}{x}$，$g(x)=\frac{a}{x}$（其中$a\in R)$． （1）若$a=2$，求函数$f(x)$的单调区间； （2）若对于任意$x\in [\frac{1}{2},e]$，都有$f(x)>g(x)$成立，求$a$的取值范围．